Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício de álgebra linear que envolve mudança de base. O objetivo aqui é encontrar as coordenadas do vetor na nova base , sabendo as coordenadas na base original e a matriz de mudança de base entre e . Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a transformação de coordenadas entre diferentes bases usando matrizes de mudança de base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. A matriz nos dá as coordenadas dos vetores da base na base . Ou seja, ela transforma coordenadas de para . Mas o que queremos é o contrário: transformar de para . Para isso, precisamos da inversa dessa matriz.
Passo 3
Então, o primeiro passo é calcular a inversa da matriz M = 1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & -1 . Vamos chamar essa matriz de :
Vamos calcular .
Passo 4
Para encontrar M = 1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & -1 Rightarrow M^-1 = a & b & c d & e & f g & h & k , usamos o método de matriz aumentada ou outras técnicas de cálculo de inversa. Vamos calcular a inversa passo a passo:
M^-1 = 0 & -1 & -1 -1 & -1 & -1 -1 & -1 & 0
Após realizar os cálculos (que envolvem determinantes e adjuntos), encontramos:
Passo 5
Agora que temos [v]alpha' = M^-1 [v]alpha , podemos transformar as coordenadas do vetor [v]alpha' = 0 & -1 & -1 -1 & -1 & -1 -1 & -1 & 0 -1 2 3 da base [v]alpha' = 0 times (-1) + (-1) times 2 + (-1) times 3 -1 times (-1) + (-1) times 2 + (-1) times 3 -1 times (-1) + (-1) times 2 + 0 times 3 = -5 -4 3 para a base . A fórmula para isso é:
Substituindo os valores:
Vamos fazer a multiplicação:
Resposta
Portanto, as coordenadas do vetor [v]alpha' = -5 -4 3 na base são: