Se
ache
$$
[v]{\alpha^{\prime}} [v]{\alpha}=\left[ \right]
$$

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício de álgebra linear que envolve mudança de base. O objetivo aqui é encontrar as coordenadas do vetor na nova base , sabendo as coordenadas na base original e a matriz de mudança de base entre e . Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a transformação de coordenadas entre diferentes bases usando matrizes de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. A matriz nos dá as coordenadas dos vetores da base na base . Ou seja, ela transforma coordenadas de para . Mas o que queremos é o contrário: transformar de para . Para isso, precisamos da inversa dessa matriz.

Passo 3

Então, o primeiro passo é calcular a inversa da matriz . Vamos chamar essa matriz de :
Vamos calcular .

Passo 4

Para encontrar , usamos o método de matriz aumentada ou outras técnicas de cálculo de inversa. Vamos calcular a inversa passo a passo:
Após realizar os cálculos (que envolvem determinantes e adjuntos), encontramos:

Passo 5

Agora que temos , podemos transformar as coordenadas do vetor da base para a base . A fórmula para isso é:
Substituindo os valores:
Vamos fazer a multiplicação:

Resposta

Portanto, as coordenadas do vetor na base são:

Exercícios relacionados

A partir das resoluções da questão anterior determine as equações paramétricas das curvas abaixo:
a)
b)
c)
Obter a equação do plano que passa pelos pontos e e é ortogonal ao plano .
Encontre os coeficientes C e D da melhor reta que aproximam os pontos experimentais da tabela (2 pontos)
-1 1
1 1
2 3
Prove que
para todo .