Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício de álgebra linear que envolve mudança de base. O objetivo aqui é encontrar as coordenadas do vetor na nova base , sabendo as coordenadas na base original e a matriz de mudança de base entre e . Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a transformação de coordenadas entre diferentes bases usando matrizes de mudança de base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. A matriz nos dá as coordenadas dos vetores da base na base . Ou seja, ela transforma coordenadas de para . Mas o que queremos é o contrário: transformar de para . Para isso, precisamos da inversa dessa matriz.
Passo 3
Então, o primeiro passo é calcular a inversa da matriz . Vamos chamar essa matriz de :
Vamos calcular .
Passo 4
Para encontrar , usamos o método de matriz aumentada ou outras técnicas de cálculo de inversa. Vamos calcular a inversa passo a passo:
Após realizar os cálculos (que envolvem determinantes e adjuntos), encontramos:
Passo 5
Agora que temos , podemos transformar as coordenadas do vetor da base para a base . A fórmula para isso é: