Uma pequena esfera de massa
e carga
esta presa no teto por uma corda próxima a uma parede cuja superfície está carregada com densidade superficial uniforme de
. Qual o ângulo (em radianos) que o fio que prende a esfera faz com a vertical? Use
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera pequenininha presa no teto perto de uma parede carregada. A questão pede para descobrir o ângulo que o fio faz com a vertical. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de equilíbrio de forças e eletricidade estática. Vamos precisar usar fórmulas para o campo elétrico de uma superfície carregada e para as forças que atuam na esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o campo elétrico gerado pela parede carregada. A parede tem uma densidade superficial de carga
. O campo elétrico
produzido por uma superfície infinita com densidade superficial uniforme é dado por:
Aqui,
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Agora, vamos calcular a força elétrica
que atua na esfera devido ao campo elétrico da parede. A esfera tem carga
. A força elétrica é dada por:
Substituímos o valor de
que encontramos no passo anterior.
Passo 4
A esfera está em equilíbrio, então a soma das forças que atuam nela deve ser zero. As forças envolvidas são:
- Força da gravidade:
, onde e . - Força elétrica:
(calculada no passo 3). - Tensão no fio:
, que pode ser decomposta em (vertical) e (horizontal).
Para o equilíbrio vertical:
E para o equilíbrio horizontal:
Passo 5
Para encontrar o ângulo
, podemos dividir as duas equações de equilíbrio:
Simplificando, temos:
Então, o ângulo
é:
Resposta
O ângulo que o fio faz com a vertical é aproximadamente
radianos.