Uma pequena esfera de massa e carga esta presa no teto por uma corda próxima a uma parede cuja superfície está carregada com densidade superficial uniforme de . Qual o ângulo (em radianos) que o fio que prende a esfera faz com a vertical? Use e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera pequenininha presa no teto perto de uma parede carregada. A questão pede para descobrir o ângulo que o fio faz com a vertical. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de equilíbrio de forças e eletricidade estática. Vamos precisar usar fórmulas para o campo elétrico de uma superfície carregada e para as forças que atuam na esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo elétrico gerado pela parede carregada. A parede tem uma densidade superficial de carga . O campo elétrico produzido por uma superfície infinita com densidade superficial uniforme é dado por:
Aqui, é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Agora, vamos calcular a força elétrica que atua na esfera devido ao campo elétrico da parede. A esfera tem carga . A força elétrica é dada por:
Substituímos o valor de que encontramos no passo anterior.

Passo 4

A esfera está em equilíbrio, então a soma das forças que atuam nela deve ser zero. As forças envolvidas são:
  • Força da gravidade: , onde e .
  • Força elétrica: (calculada no passo 3).
  • Tensão no fio: , que pode ser decomposta em (vertical) e (horizontal).
Para o equilíbrio vertical:
E para o equilíbrio horizontal:

Passo 5

Para encontrar o ângulo , podemos dividir as duas equações de equilíbrio:
Simplificando, temos:
Então, o ângulo é:

Resposta

O ângulo que o fio faz com a vertical é aproximadamente radianos.

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