Um iceberg tem a forma de uma pirâmide regular com vértice voltado para cima. Ignorando qualquer movimento induzido da água, mostre que, para pequenas oscilações verticais
do iceberg, ele executará um movimento harmônico simples e determine o seu periodo.
Dados:
altura do iceberg;
altura da parte emersa;
aceleração da gravidade local;
massa especifica da água;
massa especifica do gelo.
Nota: Use a aproximação
, para
muito pequeno.
Dados:
Nota: Use a aproximação
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um iceberg que é como uma pirâmide regular com o vértice para cima. A pergunta quer saber se, quando o iceberg oscila levemente para cima e para baixo, ele faz um movimento harmônico simples (o famoso movimento de mola) e qual é o período desse movimento. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de física sobre equilíbrio de forças e movimento harmônico. Vamos usar as fórmulas básicas de força de empuxo e movimento harmônico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o equilíbrio do iceberg quando ele está parado. A força para baixo é o peso do iceberg, que depende da massa do gelo. A força para cima é o empuxo, que depende da massa de água deslocada. No equilíbrio, essas duas forças são iguais.
Matematicamente:
Aqui,
é o volume total do iceberg e
é o volume da parte submersa.
Passo 3
Como o iceberg é uma pirâmide, o volume total
é dado por:
E o volume submerso
quando está em equilíbrio:
Onde
é a área da base da pirâmide,
a altura total e
a altura submersa.
Passo 4
Igualando o peso ao empuxo:
Isso nos dá a altura submersa em equilíbrio.
Passo 5
Agora, vamos considerar uma pequena oscilação vertical
. Quando o iceberg se move para cima ou para baixo, a altura submersa muda para
. Então, o novo volume submerso é:
Passo 6
A nova força de empuxo será:
A diferença na força de empuxo devido à oscilação é:
Passo 7
Essa diferença na força de empuxo atua como uma força restauradora, ou seja, proporcional a
e aponta na direção oposta. Segundo a segunda lei de Newton:
Onde
e
é a massa do iceberg.
Passo 8
A massa
do iceberg é:
Passo 9
Substituindo
e
na equação:
Passo 10
Essa equação é a de um movimento harmônico simples, onde:
Passo 11
O período
do movimento é relacionado à frequência angular
por:
Resposta
O iceberg realiza um movimento harmônico simples com período dado por: