Um iceberg tem a forma de uma pirâmide regular com vértice voltado para cima. Ignorando qualquer movimento induzido da água, mostre que, para pequenas oscilações verticais x do iceberg, ele executará um movimento harmônico simples e determine o seu periodo.
Dados: H= altura do iceberg; h= altura da parte emersa; g= aceleração da gravidade local; rhoA= massa especifica da água; rhoG= massa especifica do gelo.
Nota: Use a aproximação (1+x)^n=1+n cdot x, para times muito pequeno.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um iceberg que é como uma pirâmide regular com o vértice para cima. A pergunta quer saber se, quando o iceberg oscila levemente para cima e para baixo, ele faz um movimento harmônico simples (o famoso movimento de mola) e qual é o período desse movimento. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de física sobre equilíbrio de forças e movimento harmônico. Vamos usar as fórmulas básicas de força de empuxo e movimento harmônico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o equilíbrio do iceberg quando ele está parado. A força para baixo é o peso do iceberg, que depende da massa do gelo. A força para cima é o empuxo, que depende da massa de água deslocada. No equilíbrio, essas duas forças são iguais.
Matematicamente:
Peso = Empuxo rhoG cdot V = rhoA cdot V'
Aqui, V é o volume total do iceberg e V' é o volume da parte submersa.

Passo 3

Como o iceberg é uma pirâmide, o volume total V é dado por:
V = 13 cdot A cdot H
E o volume submerso V' quando está em equilíbrio:
V' = 13 cdot A cdot h
Onde A é a área da base da pirâmide, H a altura total e h a altura submersa.

Passo 4

Igualando o peso ao empuxo:
rhoG cdot 13 A H = rhoA cdot 13 A h rhoG H = rhoA h h = rhoGrhoA H
Isso nos dá a altura submersa em equilíbrio.

Passo 5

Agora, vamos considerar uma pequena oscilação vertical x. Quando o iceberg se move para cima ou para baixo, a altura submersa muda para h - x. Então, o novo volume submerso é:
V' = 13 A (h - x)

Passo 6

A nova força de empuxo será:
Empuxo = rhoA cdot 13 A (h - x) cdot g
A diferença na força de empuxo devido à oscilação é:
De

Passo 7

Essa diferença na força de empuxo atua como uma força restauradora, ou seja, proporcional a x e aponta na direção oposta. Segundo a segunda lei de Newton:
m cdot d^2xdt^2 = -k x
Onde k = rhoA cdot 13 A g e m é a massa do iceberg.

Passo 8

A massa m do iceberg é:
m = rhoG cdot V = rhoG cdot 13 A H

Passo 9

Substituindo k e m na equação:
d^2xdt^2 + (km) x = 0 d^2xdt^2 + (rhoA cdot 13 A grhoG cdot 13 A H) x = 0 d^2xdt^2 + (rhoA grhoG H) x = 0

Passo 10

Essa equação é a de um movimento harmônico simples, onde:
omega^2 = rhoA grhoG H omega = raizrhoA grhoG H

Passo 11

O período T do movimento é relacionado à frequência angular omega por:
T = 2piomega = 2pi raizrhoG HrhoA g

Resposta

O iceberg realiza um movimento harmônico simples com período dado por:
T = 2pi raizrhoG HrhoA g

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