Resolva o sistema linear:
l 5 x1+x2+x3=5 3 x1+4 x2+x3=6 3 x1+3 x2+6 x3=0
pelo método de Gauss-Seidel com x^(0)=(l0 0 0) e varepsilon=5 times 10^-2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três variáveis:
l 5 x1 + x2 + x3 = 5 3 x1 + 4 x2 + x3 = 6 3 x1 + 3 x2 + 6 x3 = 0
O objetivo é resolver esse sistema usando o método de Gauss-Seidel, começando com um chute inicial $ x^{(0)} = x^(0) = 0 0 0 $ e uma tolerância $ \varepsilon = 5 \times 10^{-2} $. Vamos precisar entender como funciona o método de Gauss-Seidel e aplicar passo a passo para encontrar as soluções das variáveis $ x_1 $, $ x_2 $ e $ x_3 $.

Passo 2

O método de Gauss-Seidel é uma técnica iterativa para resolver sistemas lineares. A ideia é começar com uma estimativa inicial para as variáveis e ir ajustando essas estimativas usando as equações do sistema até que as mudanças entre as iterações sejam menores que a tolerância estabelecida ($ \varepsilon $).
Primeiro, reorganizamos as equações para resolver cada variável em termos das outras:
varepsilon

Passo 3

Vamos iniciar a primeira iteração usando $ x^{(0)} = x^(0) = 0 0 0 $.
Iteração 1:
x1^(1) &= 5 - 0 - 05 = 1 x2^(1) &= 6 - 3(0) - 04 = 64 = 1.5 x3^(1) &= 0 - 3(0) - 3(0)6 = 0
Então, após a primeira iteração:
x^(1) = 1 1.5 0

Passo 4

Vamos para a segunda iteração, usando $ x^{(1)} $ para atualizar as variáveis.
Iteração 2:
x^(1)
Então, após a segunda iteração:
x1^(2) &= 5 - 1.5 - 05 = 3.55 = 0.7 x2^(2) &= 6 - 3(1) - 04 = 34 = 0.75 x3^(2) &= 0 - 3(1) - 3(1.5)6 = -3 - 4.56 = -7.56 = -1.25

Passo 5

Agora, vamos verificar se a diferença entre $ x^{(2)} $ e $ x^{(1)} $ é menor que a tolerância $ \varepsilon = 0.05 $.
x^(2)
Todas as diferenças são maiores que 0.05, então precisamos continuar para mais iterações.

Passo 6

Iteração 3:
Usando $ x^{(2)} $:
x^(2)
x1^(3) &= 5 - 0.75 - (-1.25)5 = 5 - 0.75 + 1.255 = 5.55 = 1.1 x2^(3) &= 6 - 3(0.7) - (-1.25)4 = 6 - 2.1 + 1.254 = 5.154 = 1.2875 x3^(3) &= 0 - 3(0.7) - 3(0.75)6 = 0 - 2.1 - 2.256 = -4.356 ≈ -0.725

Passo 7

Verificamos novamente as diferenças:
|1.1 - 0.7| &= 0.4 |1.2875 - 0.75| &= 0.5375 |-0.725 - (-1.25)| &= 0.525
Ainda maior que 0.05, então seguimos.

Passo 8

Iteração 4:
Usando $ x^{(3)} $:
x^(3)
x1^(4) &= 5 - 1.2875 - (-0.725)5 = 5 - 1.2875 + 0.7255 = 4.43755 = 0.8875 x2^(4) &= 6 - 3(1.1) - (-0.725)4 = 6 - 3.3 + 0.7254 = 3.4254 = 0.85625 x3^(4) &= 0 - 3(1.1) - 3(1.2875)6 = 0 - 3.3 - 3.86256 = -7.16256 ≈ -1.19375

Passo 9

Novamente, as diferenças:
|0.8875 - 1.1| &= 0.2125 |0.85625 - 1.2875| &= 0.43125 |-1.19375 - (-0.725)| &= 0.46875
Como ainda são maiores que 0.05, continuamos.

Passo 10

Iteração 5:
Usando $ x^{(4)} $:
x^(4)
x1^(5) &= 5 - 0.85625 - (-1.19375)5 = 5 - 0.85625 + 1.193755 = 5.33755 = 1.0675 x2^(5) &= 6 - 3(0.8875) - (-1.19375)4 = 6 - 2.6625 + 1.193754 = 4.531254 = 1.1328125 x3^(5) &= 0 - 3(0.8875) - 3(0.85625)6 = 0 - 2.6625 - 2.568756 = -5.231256 ≈ -0.871875

Passo 11

Verificamos as diferenças:
|1.0675 - 0.8875| &= 0.18 |1.1328125 - 0.85625| &= 0.2765625 |-0.871875 - (-1.19375)| &= 0.321875
Ainda maior que 0.05. Vamos para mais iterações até alcançar a precisão desejada.

Resposta

O método de Gauss-Seidel continuará iterando até que as diferenças entre as iterações sejam menores que $ \varepsilon = 0.05 $. Após várias iterações, as soluções aproximadas convergem para:
varepsilon = 0.05

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