Utilize o teste da comparação para determinar se cada uma das séries converge ou diverge:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente usar o teste da comparação para descobrir se a série
converge ou diverge. Então, vamos precisar entender como usar esse teste e saber comparar essa série com outra que a gente já conhece a convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o teste da comparação. Esse teste serve pra gente comparar termos da série que queremos analisar com termos de uma outra série que já sabemos se ela converge ou diverge. Se os termos da nossa série forem sempre menores ou iguais aos da série comparadora e a série comparadora converge, então a nossa também converge.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a nossa série:
. Sabemos que
sempre está entre 0 e 1, porque o cosseno ao quadrado nunca passa desses limites. Ou seja,
para qualquer valor de
.
Passo 4
Com isso em mente, podemos dizer que:
Isso porque
é no máximo 1. Então, cada termo da nossa série original é menor ou igual ao termo correspondente da série
.
Passo 5
Agora, precisamos analisar a série comparadora
. Essa é uma série p, onde
. Sabemos que uma série p converge se
.
Passo 6
Como
é maior que 1, a série
converge. E como mostramos no Passo 4 que nossa série original tem termos menores ou iguais a essa série convergente, pelo teste da comparação, nossa série também converge.
Resposta
A série
converge pelo teste da comparação.
Exercícios relacionados
Identificar quais dos conjuntos seguintes são bolas abertas em
ou
, determinando, em caso positivo, o centro e o raio.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Normalmente, a incerteza expandida é calculada para
, o que significa uma probabilidade de abrangência de 95,4 % (considerando que a incerteza-padrão combinada siga uma distribuição normal de probabilidade). Se k= 3, considerando uma distribuição normal, a probabilidade de abrangência é de 99,7 %.
O comprimento da corda é 5,027 m
. A incerteza expandida foi calculada multiplicando a incerteza-padrão combinada pelo fator de abrangência k = 2, para uma probabilidade de abrangência de aproximadamente 95%.
Identificar as afirmações verdadeiras:
a) é ponto de acumulação do conjunto
b) Os pontos e
pertencem à fronteira do conjunto
.
c) é ponto de acumulação da bola aberta
, qualquer que seja
.
d) O conjunto vazio é um conjunto aberto.
e) Toda bola aberta é um conjunto aberto.
f) é um conjunto aberto.
g) Todo ponto de acumulação de um conjunto pertence a esse conjunto.
h) O conjunto e
são racionais
não tem ponto de acumulação.
i) Todos os pontos de um conjunto aberto são pontos de acumulação de
.
j) Se é um conjunto aberto, nenhum ponto de fronteira de
pertence a
.
a)
b) Os pontos
c)
d) O conjunto vazio é um conjunto aberto.
e) Toda bola aberta é um conjunto aberto.
f)
g) Todo ponto de acumulação de um conjunto
h) O conjunto
i) Todos os pontos de um conjunto aberto
j) Se