Utilize o teste da comparação para determinar se cada uma das séries converge ou diverge: sumn=1^infty cos ^2 nn^3 / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente usar o teste da comparação para descobrir se a série converge ou diverge. Então, vamos precisar entender como usar esse teste e saber comparar essa série com outra que a gente já conhece a convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o teste da comparação. Esse teste serve pra gente comparar termos da série que queremos analisar com termos de uma outra série que já sabemos se ela converge ou diverge. Se os termos da nossa série forem sempre menores ou iguais aos da série comparadora e a série comparadora converge, então a nossa também converge.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a nossa série: . Sabemos que sempre está entre 0 e 1, porque o cosseno ao quadrado nunca passa desses limites. Ou seja, para qualquer valor de .

Passo 4

Com isso em mente, podemos dizer que:
cos^2 nn^3/2 <= 1n^3/2
Isso porque é no máximo 1. Então, cada termo da nossa série original é menor ou igual ao termo correspondente da série .

Passo 5

Agora, precisamos analisar a série comparadora . Essa é uma série p, onde . Sabemos que uma série p converge se .

Passo 6

Como é maior que 1, a série converge. E como mostramos no Passo 4 que nossa série original tem termos menores ou iguais a essa série convergente, pelo teste da comparação, nossa série também converge.

Resposta

A série converge pelo teste da comparação.

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