Identificar quais dos conjuntos seguintes são bolas abertas em
ou
, determinando, em caso positivo, o centro e o raio.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar quais dos conjuntos listados são bolas abertas no espaço
ou
. Uma bola aberta é basicamente todos os pontos que estão a uma certa distância (raio) de um ponto central, sem incluir a borda. Para resolver isso, vamos precisar reescrever as inequações de cada item na forma padrão da equação de uma bola aberta, identifcando o centro e o raio.
Passo 2
a)
Primeiro, vamos completar o quadrado para a variável
:
Então, a inequação fica:
Isso é a equação de uma bola aberta no
com centro em
e raio
.
Passo 3
b)
Vamos completar o quadrado para
:
A inequação fica:
Isso representa uma bola aberta no
com centro em
e raio
.
Passo 4
c)
Essa inequação descreve todos os pontos onde a soma dos quadrados de
e
é menor que o quadrado de
. Isso não representa uma bola aberta, mas sim um cone duplo no
, já que para qualquer valor de
, os valores de
e
variam de acordo.
Passo 5
d)
Vamos expandir o lado direito:
Subtraindo o lado direito do esquerdo:
Isso representa uma região aberta acima da reta
no
, mas não é uma bola aberta.
Passo 6
e)
Essa inequação descreve todos os pontos fora de um círculo de raio
no
. Como uma bola aberta inclui apenas os pontos dentro de uma certa distância, esse conjunto não é uma bola aberta.
Passo 7
f)
Vamos completar o quadrado para
:
Então, a inequação fica:
Isso é a equação de uma bola aberta no
com centro em
e raio
.
Passo 8
g)
Essa inequação não está na forma padrão de uma bola aberta porque o termo
não está elevado ao quadrado. Portanto, ela representa um conjunto irregular no
e não uma bola aberta.
Resposta
As seguintes inequações representam bolas abertas:
- a) Centro em
e raio no . - b) Centro em
e raio no . - f) Centro em
e raio no .
Os demais conjuntos não são bolas abertas.