Identificar quais dos conjuntos seguintes são bolas abertas em R^2 ou R^3, determinando, em caso positivo, o centro e o raio.
a) x^2 + y^2 - 2y < 3
b) x^2 + y^2 + z^2 + 6z < 0
c) x^2 + y^2 < z^2
d) x^2 + y^2 + 2 x > (x - 1)^2 + (y - 2)^2
e) x^2 + y^2 - 1 > 0
f) x^2 + 4 x + y^2 < 5
g) x^2 + y^2 + z < 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar quais dos conjuntos listados são bolas abertas no espaço ou . Uma bola aberta é basicamente todos os pontos que estão a uma certa distância (raio) de um ponto central, sem incluir a borda. Para resolver isso, vamos precisar reescrever as inequações de cada item na forma padrão da equação de uma bola aberta, identifcando o centro e o raio.

Passo 2

a)
Primeiro, vamos completar o quadrado para a variável :
Então, a inequação fica:
Isso é a equação de uma bola aberta no com centro em e raio .

Passo 3

b)
Vamos completar o quadrado para :
A inequação fica:
Isso representa uma bola aberta no com centro em e raio .

Passo 4

c)
Essa inequação descreve todos os pontos onde a soma dos quadrados de e é menor que o quadrado de . Isso não representa uma bola aberta, mas sim um cone duplo no , já que para qualquer valor de , os valores de e variam de acordo.

Passo 5

d)
Vamos expandir o lado direito:
Subtraindo o lado direito do esquerdo:
Isso representa uma região aberta acima da reta no , mas não é uma bola aberta.

Passo 6

e)
Essa inequação descreve todos os pontos fora de um círculo de raio no . Como uma bola aberta inclui apenas os pontos dentro de uma certa distância, esse conjunto não é uma bola aberta.

Passo 7

f)
Vamos completar o quadrado para :
Então, a inequação fica:
Isso é a equação de uma bola aberta no com centro em e raio .

Passo 8

g)
Essa inequação não está na forma padrão de uma bola aberta porque o termo não está elevado ao quadrado. Portanto, ela representa um conjunto irregular no e não uma bola aberta.

Resposta

As seguintes inequações representam bolas abertas:
  • a) Centro em e raio no .
  • b) Centro em e raio no .
  • f) Centro em e raio no .
Os demais conjuntos não são bolas abertas.

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