Identificar e descrever as quádricas de equações dadas.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação para identificar e descrever a quádica correspondente:
Aqui, estamos trabalhando com quádricas, que são superfícies descritas por equações de segundo grau em três variáveis (x, y, z). Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação, completar o quadrado para simplificar e, assim, identificar o tipo de quádrica que estamos lidando.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os termos da equação agrupando as variáveis semelhantes:
Agora, vamos preparar para completar o quadrado no termo que contém o y. Isso nos ajudará a simplificar a equação.
Passo 3
Para completar o quadrado no termo de y, observamos a expressão:
O processo de completar o quadrado envolve adicionar e subtrair um número que torna a expressão um quadrado perfeito. A fórmula é:
Então, substituindo de volta na equação original:
Simplificando os termos constantes (-1 + 5):
Passo 4
Agora, vamos isolar os termos quadráticos:
Para facilitar a identificação, vamos dividir toda a equação por -4 para deixar os termos com coeficientes positivos:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por -1 para deixar a equação mais convencional:
Passo 5
Agora, vamos analisar a equação resultante:
Comparando com as formas padrão das quádricas, observamos que temos dois termos positivos e um termo negativo. Isso indica que estamos lidando com um Hiperbolóide de Uma Folha ou Hiperbolóide de Duas Folhas, dependendo dos sinais.
No nosso caso, como o termo de z² é negativo e igualá-lo a um valor negativo, isso sugere um Hiperbolóide de Duas Folhas.
Resposta
A quádica representada pela equação
é um Hiperbolóide de Duas Folhas. Essa superfície possui duas “folhas” simétricas em relação ao plano central, sendo orientadas ao longo do eixo z. O término do termo y desloca o hiperbolóide no eixo y, centralizando a superfície em y = -1.