Identificar e descrever as quádricas de equações dadas. 2 x^2+y^2-4 z^2+2 y+5=0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação para identificar e descrever a quádica correspondente:
2x^2 + y^2 - 4z^2 + 2y + 5 = 0
Aqui, estamos trabalhando com quádricas, que são superfícies descritas por equações de segundo grau em três variáveis (x, y, z). Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação, completar o quadrado para simplificar e, assim, identificar o tipo de quádrica que estamos lidando.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os termos da equação agrupando as variáveis semelhantes:
2x^2 + y^2 + 2y - 4z^2 + 5 = 0
Agora, vamos preparar para completar o quadrado no termo que contém o y. Isso nos ajudará a simplificar a equação.

Passo 3

Para completar o quadrado no termo de y, observamos a expressão:
y^2 + 2y
O processo de completar o quadrado envolve adicionar e subtrair um número que torna a expressão um quadrado perfeito. A fórmula é:
y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1
Então, substituindo de volta na equação original:
2x^2 + (y + 1)^2 - 1 - 4z^2 + 5 = 0
Simplificando os termos constantes (-1 + 5):
2x^2 + (y + 1)^2 - 4z^2 + 4 = 0

Passo 4

Agora, vamos isolar os termos quadráticos:
2x^2 + (y + 1)^2 - 4z^2 = -4
Para facilitar a identificação, vamos dividir toda a equação por -4 para deixar os termos com coeficientes positivos:
2x^2-4 + (y + 1)^2-4 + -4z^2-4 = -4-4
Simplificando:
-12x^2 - (y + 1)^24 + z^2 = 1
Multiplicando ambos os lados por -1 para deixar a equação mais convencional:
12x^2 + (y + 1)^24 - z^2 = -1

Passo 5

Agora, vamos analisar a equação resultante:
12x^2 + (y + 1)^24 - z^2 = -1
Comparando com as formas padrão das quádricas, observamos que temos dois termos positivos e um termo negativo. Isso indica que estamos lidando com um Hiperbolóide de Uma Folha ou Hiperbolóide de Duas Folhas, dependendo dos sinais.
No nosso caso, como o termo de é negativo e igualá-lo a um valor negativo, isso sugere um Hiperbolóide de Duas Folhas.

Resposta

A quádica representada pela equação
2x^2 + y^2 - 4z^2 + 2y + 5 = 0
é um Hiperbolóide de Duas Folhas. Essa superfície possui duas “folhas” simétricas em relação ao plano central, sendo orientadas ao longo do eixo z. O término do termo y desloca o hiperbolóide no eixo y, centralizando a superfície em y = -1.

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