Identificar e descrever as quádricas de equações dadas.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente identificar e descrever uma quádricas a partir da equação dada:
. Isso está relacionado à geometria analítica, especialmente o estudo das superfícies quádricas. Para resolver, vamos precisar rearranjar essa equação para identificar de que tipo de quádrica estamos falando.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos semelhantes. A equação original é:
Vamos rearranjar para:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos que envolvem
e
. Para o
:
Temos
. Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de
, que é
, e elevamos ao quadrado, ficando
. Então:
Para o
:
Temos
. Primeiro, fatoramos o coeficiente de
:
Completa-se o quadrado dentro do parêntese. Metade de
é
, e
:
Passo 4
Substituímos as expressões completadas na equação original:
Vamos simplificar os termos constantes:
Passo 5
Isolamos o termo com
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, colocamos a equação na forma padrão. Reescrevendo:
Isso pode ser visto como:
Passo 7
Reconhecendo a forma padrão, identificamos que essa é a equação de um hiperboloide de uma folha, pois possui sinais diferentes nas parcelas quadráticas e está resolvida para
.
Resposta
A quádrica dada é um hiperboloide de uma folha, cuja equação padrão é
. Ela possui um eixo ao longo do
, centros em
e abre-se nas direções positivas e negativas de
.