Identificar e descrever as quádricas de equações dadas. y^2-4 z^2-4 x-6 y-24 z-31=0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente identificar e descrever uma quádricas a partir da equação dada: . Isso está relacionado à geometria analítica, especialmente o estudo das superfícies quádricas. Para resolver, vamos precisar rearranjar essa equação para identificar de que tipo de quádrica estamos falando.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos semelhantes. A equação original é:
y^2 - 4 z^2 - 4 x - 6 y - 24 z - 31 = 0
Vamos rearranjar para:
y^2 - 6 y - 4 z^2 - 24 z - 4 x - 31 = 0

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos que envolvem y^2 - 6 y = (y - 3)^2 - 9 e -4(z^2 + 6 z) . Para o -4(z^2 + 6 z + 9 - 9) = -4(z + 3)^2 + 36 :
Temos . Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de , que é , e elevamos ao quadrado, ficando . Então:
Para o :
Temos . Primeiro, fatoramos o coeficiente de :
Completa-se o quadrado dentro do parêntese. Metade de é , e :

Passo 4

Substituímos as expressões completadas na equação original:
(y - 3)^2 - 9 - 4(z + 3)^2 + 36 - 4 x - 31 = 0
Vamos simplificar os termos constantes:
(y - 3)^2 - 4(z + 3)^2 - 4x + (-9 + 36 - 31) = 0
(y - 3)^2 - 4(z + 3)^2 - 4x - 4 = 0

Passo 5

Isolamos o termo com -4x = - (y - 3)^2 + 4(z + 3)^2 + 4 :
x = 14(y - 3)^2 - (z + 3)^2 - 1
Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Agora, colocamos a equação na forma padrão. Reescrevendo:
x = 14(y - 3)^2 - (z + 3)^2 - 1
Isso pode ser visto como:
x + 1 = 14(y - 3)^2 - (z + 3)^2

Passo 7

Reconhecendo a forma padrão, identificamos que essa é a equação de um hiperboloide de uma folha, pois possui sinais diferentes nas parcelas quadráticas e está resolvida para .

Resposta

A quádrica dada é um hiperboloide de uma folha, cuja equação padrão é . Ela possui um eixo ao longo do , centros em e abre-se nas direções positivas e negativas de .

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