Identificar e descrever as quádricas de equações dadas. 4 x^2-2 y^2+z^2-24 x-4 y+8 z+42=0;

Passo 1

Vamos analisar a equação dada: . O conteúdo que vamos usar aqui é a identificação de quádricas, que são superfícies descritas por equações de segundo grau. Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação colocando os termos semelhantes juntos e completar o quadrado para cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos agrupar os termos semelhantes:
4x^2 - 24x - 2y^2 - 4y + z^2 + 8z + 42 = 0
Aqui, separamos os termos de , e para facilitar o processo de completar o quadrado.

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para cada variável.
Para 4(x^2 - 6x) :
Fatoramos o coeficiente de x^2 - 6x + 9 - 9 = (x - 3)^2 - 9 :
4((x - 3)^2 - 9) = 4(x - 3)^2 - 36
Completando o quadrado dentro do parêntese:
-2(y^2 + 2y)
Então:
y^2 + 2y + 1 - 1 = (y + 1)^2 - 1
Para -2((y + 1)^2 - 1) = -2(y + 1)^2 + 2 :
Fatoramos o coeficiente de z^2 + 8z :
z^2 + 8z + 16 - 16 = (z + 4)^2 - 16
Completando o quadrado dentro do parêntese:
Então:
Para :
Não precisamos fatorar já que o coeficiente de é 1:
Completando o quadrado:

Passo 4

Substituímos de volta na equação original:
4(x - 3)^2 - 36 - 2(y + 1)^2 + 2 + (z + 4)^2 - 16 + 42 = 0
Simplificando os constantes:
4(x - 3)^2 - 2(y + 1)^2 + (z + 4)^2 - 36 + 2 - 16 + 42 = 0
4(x - 3)^2 - 2(y + 1)^2 + (z + 4)^2 - 8 = 0
Finalmente:
4(x - 3)^2 - 2(y + 1)^2 + (z + 4)^2 = 8
Dividindo tudo por 8 para simplificar:
(x - 3)^22 - (y + 1)^24 + (z + 4)^28 = 1

Passo 5

Comparando com as formas padrão das quádricas, vemos que temos termos quadráticos com sinais diferentes. Isso indica que estamos diante de um híperbolóide de duas folhas, já que temos dois sinais negativos e um positivo (ou vice-versa), mas nesse caso específico, os coeficientes positivos e negativos indicam a estrutura dessa superfície.

Resposta

A equação representa um híperbolóide de uma folha centrado no ponto (x - 3)^22 - (y + 1)^24 + (z + 4)^28 = 1 com os eixos escalados conforme os denominadores das frações:

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