Identificar e descrever as quádricas de equações dadas. x^2+y^2+z^2-6 x+4 y+9=0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação que envolve , e . O conteúdo que vamos usar é de quádricas, que são superfícies definidas por equações de segundo grau. Para identificar que tipo de quádricas estamos lidando e descrever suas características, vamos precisar reorganizar a equação e completar os quadrados para entender melhor.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação original de forma clara:
x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 4y + 9 = 0
Nosso objetivo é reorganizar essa equação para identificar a quádricas.

Passo 3

Vamos agrupar os termos de (x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) + z^2 + 9 = 0 , e separadamente:
Agora, vamos completar os quadrados para e .

Passo 4

Completando o quadrado para (-62)^2 = 9 :
No termo x^2 - 6x + 9 - 9 , o coeficiente de (x - 3)^2 - 9 é . A gente pega metade desse valor e eleva ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 9:
Isso dá:

Passo 5

Completando o quadrado para (42)^2 = 4 :
No termo y^2 + 4y + 4 - 4 , o coeficiente de (y + 2)^2 - 4 é . Metade disso, ao quadrado, é:
Adicionamos e subtraímos 4:
Isso resulta em:

Passo 6

Substituindo os quadrados completados na equação original:
(x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 + z^2 + 9 = 0
Simplificando os termos constantes:
(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + z^2 - 4 = 0

Passo 7

Vamos isolar os termos quadráticos:
(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + z^2 = 4

Passo 8

Prontinho! Agora, a equação está na forma padrão de uma esfera:
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2
Comparando com a nossa equação:
(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 0)^2 = 2^2

Resposta

A quádricas dada é uma esfera com centro no ponto e raio igual a .

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