Identificar e representar graficamente as superfícies expressas pelas equações nos intervalos dados.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem a equação
e um intervalo para
, que é de
até
. Nosso objetivo aqui é identificar que tipo de superfície essa equação representa e depois desenhá-la dentro desse intervalo de
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre quadricas, que são superfícies definidas por equações do segundo grau em três variáveis (
,
,
).
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação dada:
. Essa é uma equação geral de uma quadrica. Para identificar que tipo de superfície ela representa, vamos observar os sinais dos coeficientes e como as variáveis estão combinadas.
Aqui, temos
e
com sinais positivos e
com sinal negativo. Isso sugere que estamos lidando com um hiperbolóide de uma folha ou de duas folhas. Para determinar qual dos dois é, precisamos ver se todos os termos quadráticos têm o mesmo sinal ou se há sinais diferentes.
Como temos dois termos com sinal positivo e um com sinal negativo, isso indica que �� um hiperbolóide de uma folha.
Passo 3
Agora que sabemos que é um hiperbolóide de uma folha, vamos lembrar o que essa superfície parece. Um hiperbolóide de uma folha tem uma forma de sela, com duas curvas hiperbólicas em direções opostas, o que dá uma aparência de uma superfície contínua e “esticada”.
Para representar graficamente essa superfície, precisamos considerar o intervalo dado para
, que é de
até
. Isso significa que vamos desenhar o hiperbolóide dentro desses valores de
.
Passo 4
Vamos simplificar a equação para facilitar o desenho. Podemos reescrever a equação original isolando
:
Isso nos mostra que, para cada valor de
, há uma relação entre
e
. Especificamente, para cada
, a equação
representa uma elipse no plano
.
Passo 5
Com isso em mente, vamos visualizar o gráfico. Para cada valor de
dentro do intervalo de
a
, temos uma elipse com semi-eixos determinados por
. Conforme
aumenta ou diminui, o tamanho da elipse muda, o que dá a forma característica do hiperbolóide de uma folha.
Resposta
A equação
representa um hiperbolóide de uma folha. Graficamente, dentro do intervalo
, a superfície se mostra como uma estrutura contínua em forma de sela, composta por elipses no plano
que variam de tamanho conforme os valores de
.
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Identificar a superfície
e a sua interseção com o plano
dado. Representar graficamente esta interseção no plano
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