Identificar a superfície e a sua interseção com o plano dado. Representar graficamente esta interseção no plano .
e

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma superfície definida por e um plano dado por . Nosso objetivo é identificar que tipo de superfície é a , como ela se intercepta com o plano e, por fim, representar graficamente essa interseção no próprio plano . Para resolver isso, vamos precisar entender equivalências de equações de superfícies e planos, além de saber como encontrar a interseção entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície . A equação dada é . Podemos rearranjar essa equação para isolar o :
Essa é a equação de um paraboloide elíptico que se abre na direção negativa do eixo . Ou seja, é uma “tigela” invertida que se estende para baixo.

Passo 3

Agora, vamos analisar o plano . A equação pode ser simplificada para:
Isso significa que o plano é um plano horizontal paralelo ao plano , localizado 4 unidades abaixo da origem no eixo .

Passo 4

Para encontrar a interseção entre a superfície e o plano , substituímos o valor de do plano na equação da superfície:
Simplificando:

Passo 5

A equação representa um círculo no plano com raio 2. Como estamos no plano onde , essa interseção é um círculo de raio 2 localizado a 4 unidades abaixo da origem no eixo .

Passo 6

Graficamente, essa interseção aparece como um círculo de raio 2 no plano horizontal . Se imaginarmos a superfície como uma tigela invertida, o plano corta essa tigela formando exatamente esse círculo.

Resposta

A superfície é um paraboloide elíptico que se abre para baixo, definido por . A interseção com o plano ( ) resulta em um círculo de raio 2 dado por . Graficamente, essa interseção é representada por um círculo de raio 2 localizado no plano horizontal .

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