Identificar a superfície
e a sua interseção com o plano
dado. Representar graficamente esta interseção no plano
.
e
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma superfície
definida por
e um plano
dado por
. Nosso objetivo é identificar que tipo de superfície é a
, como ela se intercepta com o plano
e, por fim, representar graficamente essa interseção no próprio plano
. Para resolver isso, vamos precisar entender equivalências de equações de superfícies e planos, além de saber como encontrar a interseção entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície
. A equação dada é
. Podemos rearranjar essa equação para isolar o
:
Essa é a equação de um paraboloide elíptico que se abre na direção negativa do eixo
. Ou seja, é uma “tigela” invertida que se estende para baixo.
Passo 3
Agora, vamos analisar o plano
. A equação
pode ser simplificada para:
Isso significa que o plano
é um plano horizontal paralelo ao plano
, localizado 4 unidades abaixo da origem no eixo
.
Passo 4
Para encontrar a interseção entre a superfície
e o plano
, substituímos o valor de
do plano na equação da superfície:
Simplificando:
Passo 5
A equação
representa um círculo no plano
com raio 2. Como estamos no plano
onde
, essa interseção é um círculo de raio 2 localizado a 4 unidades abaixo da origem no eixo
.
Passo 6
Graficamente, essa interseção aparece como um círculo de raio 2 no plano horizontal
. Se imaginarmos a superfície
como uma tigela invertida, o plano
corta essa tigela formando exatamente esse círculo.
Resposta
A superfície
é um paraboloide elíptico que se abre para baixo, definido por
. A interseção com o plano
(
) resulta em um círculo de raio 2 dado por
. Graficamente, essa interseção é representada por um círculo de raio 2 localizado no plano horizontal
.
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