Identificar a superfície S e a sua interseção com o plano pi dado. Representar graficamente esta interseção no plano pi.
S: x^2+y+z^2=0 e pi: y+4=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma superfície S definida por x^2 + y + z^2 = 0 e um plano pi dado por y + 4 = 0. Nosso objetivo é identificar que tipo de superfície é a S, como ela se intercepta com o plano pi e, por fim, representar graficamente essa interseção no próprio plano pi. Para resolver isso, vamos precisar entender equivalências de equações de superfícies e planos, além de saber como encontrar a interseção entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície S. A equação dada é x^2 + y + z^2 = 0. Podemos rearranjar essa equação para isolar o y:
y = -x^2 - z^2
Essa é a equação de um paraboloide elíptico que se abre na direção negativa do eixo y. Ou seja, é uma “tigela” invertida que se estende para baixo.

Passo 3

Agora, vamos analisar o plano pi. A equação y + 4 = 0 pode ser simplificada para:
y = -4
Isso significa que o plano pi é um plano horizontal paralelo ao plano xz, localizado 4 unidades abaixo da origem no eixo y.

Passo 4

Para encontrar a interseção entre a superfície S e o plano pi, substituímos o valor de y do plano na equação da superfície:
x^2 + (-4) + z^2 = 0
Simplificando:
x^2 + z^2 = 4

Passo 5

A equação x^2 + z^2 = 4 representa um círculo no plano xz com raio 2. Como estamos no plano pi onde y = -4, essa interseção é um círculo de raio 2 localizado a 4 unidades abaixo da origem no eixo y.

Passo 6

Graficamente, essa interseção aparece como um círculo de raio 2 no plano horizontal y = -4. Se imaginarmos a superfície S como uma tigela invertida, o plano pi corta essa tigela formando exatamente esse círculo.

Resposta

A superfície S é um paraboloide elíptico que se abre para baixo, definido por y = -x^2 - z^2. A interseção com o plano pi ( y = -4) resulta em um círculo de raio 2 dado por x^2 + z^2 = 4. Graficamente, essa interseção é representada por um círculo de raio 2 localizado no plano horizontal y = -4.

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