Identificar e representar graficamente as superfícies expressas pelas equações nos intervalos dados.
y=6-x^2-z^2,-3 <= y <= 6

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar e desenhar a superfície definida pela equação , mas por apenas nos pontos onde . Isso tudo está relacionado à geometria analítica, especificamente às superfícies no espaço tridimensional. Para resolver, vamos analisar a equação, entender que tipo de superfície ela representa e depois considerar os limites de para fazer o gráfico correto.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação . Isso parece com a equação geral de um paraboloide. Na geometria, um paraboloide pode abrir para cima ou para baixo dependendo do sinal dos termos quadráticos.

Passo 3

No nosso caso, os termos quadráticos e têm sinais negativos. Isso significa que o paraboloide está abrindo para baixo. A equação representa uma superfície tridimensional onde, para cada par de valores de e , a coordenada é determinada por essa relação quadrática.

Passo 4

O próximo passo é identificar o vértice do paraboloide. O vértice ocorre no ponto onde y = 6 - 0^2 - 0^2 = 6 e são zero. Substituindo e na equação, temos:
Então, o vértice está em .

Passo 5

Agora, vamos considerar os intervalos dados para , que são de -3 a 6. O valor máximo de já vimos que é 6, no vértice. O valor mínimo de é -3. Vamos achar para quais valores de e o atinge esse mínimo.

Passo 6

Para -3 = 6 - x^2 - z^2 :
x^2 + z^2 = 6 - (-3) = 9
Resolvendo para :
Isso nos dá a equação de um círculo no plano com raio 3.

Passo 7

Então, a superfície entre é uma parte de um paraboloide que começa no vértice e se estende para baixo até o círculo de raio 3 no plano .

Resposta

A superfície no intervalo é um paraboloide voltado para baixo com vértice em e limitado inferiormente por um círculo de raio 3 no plano . Graficamente, ela se apresenta como uma parábola tridimensional que se estende do ponto mais alto no vértice até a base circular no nível .

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