Identificar e representar graficamente as superfícies expressas pelas equações nos intervalos dados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar e desenhar a superfície definida pela equação
, mas por apenas nos pontos onde
. Isso tudo está relacionado à geometria analítica, especificamente às superfícies no espaço tridimensional. Para resolver, vamos analisar a equação, entender que tipo de superfície ela representa e depois considerar os limites de
para fazer o gráfico correto.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação
. Isso parece com a equação geral de um paraboloide. Na geometria, um paraboloide pode abrir para cima ou para baixo dependendo do sinal dos termos quadráticos.
Passo 3
No nosso caso, os termos quadráticos
e
têm sinais negativos. Isso significa que o paraboloide está abrindo para baixo. A equação representa uma superfície tridimensional onde, para cada par de valores de
e
, a coordenada
é determinada por essa relação quadrática.
Passo 4
O próximo passo é identificar o vértice do paraboloide. O vértice ocorre no ponto onde
e
são zero. Substituindo
e
na equação, temos:
Então, o vértice está em
.
Passo 5
Agora, vamos considerar os intervalos dados para
, que são de -3 a 6. O valor máximo de
já vimos que é 6, no vértice. O valor mínimo de
é -3. Vamos achar para quais valores de
e
o
atinge esse mínimo.
Passo 6
Para
:
Resolvendo para
:
Isso nos dá a equação de um círculo no plano
com raio 3.
Passo 7
Então, a superfície
entre
é uma parte de um paraboloide que começa no vértice
e se estende para baixo até o círculo de raio 3 no plano
.
Resposta
A superfície
no intervalo
é um paraboloide voltado para baixo com vértice em
e limitado inferiormente por um círculo de raio 3 no plano
. Graficamente, ela se apresenta como uma parábola tridimensional que se estende do ponto mais alto no vértice até a base circular no nível
.