Identificar as superfícies definidas pelas equações, dizendo ao longo de que eixo elas ocorrem, conforme o caso.
Passo 1
Então, a gente tem a equação
e precisamos descobrir que tipo de superfície ela representa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre superfícies quadráticas. Vamos analisar a equação passo a passo para entender qual é a forma dessa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a identificação da superfície. A equação dada é:
Para eliminar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar a equação para que fique mais clara. Dividimos todos os termos por 16 para isolar
:
Passo 4
Essa forma da equação se parece com a equação padrão de uma superfície quadrática. No caso, temos:
Onde
,
e
.
Passo 5
Reconhecendo a estrutura da equação, percebemos que ela representa uma hiperboloide de uma folha, mas com os coeficientes ajustados. No entanto, como os sinais dos termos de
e
são positivos e iguais no lado direito, e o lado esquerdo tem apenas
, na verdade estamos lidando com uma dupla cone.
Passo 6
A dupla cone é uma superfície formada por dois cones simétricos que se encontram na origem, estendendo-se ao longo de um eixo central. No nosso caso, o eixo central é o eixo
, já que a variável
está isolada na equação.
Resposta
A equação
representa uma dupla cone que está simétrica ao redor do eixo
.
Exercícios relacionados
Obter uma equação geral do plano tangente à superfície esférica
no ponto
para cada caso:
e
Sejam
o espaço vetorial de todas as funções reais e
fixado. Mostre que o conjunto
é um subespaço de
.
Reduza cada uma das equações à forma canônica (se necessário), identifique a superfície e esboce seu gráfico.
Seja
a dilatação
. Encontre um operador linear
tal que
.