Reduza cada uma das equações à forma canônica (se necessário), identifique a superfície e esboce seu gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para reduzirmos a equação
à forma canônica, identificar qual é a superfície representada por essa equação e desenhar o gráfico dela. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies quadráticas e como colocá-las na forma canônica.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar organizar a equação de forma que fique mais fácil de identificar a superfície. A equação dada é:
Vamos isolar o termo com
:
Agora, dividindo todos os termos por 9 para simplificar:
Passo 3
A próxima etapa é reconhecer que essa equação se assemelha à equação geral de uma superfície parabólica. A forma geral de uma parábola tridimensional (paraboloide) pode ser escrita como:
Comparando com a nossa equação:
Vemos que
e
. Isso nos mostra que temos um paraboloide que está abrindo para baixo no eixo
.
Passo 4
Para confirmar isso, lembramos que em um paraboloide, os coeficientes dos termos quadráticos determinam a orientação e a abertura da superfície. Como ambos os coeficientes são negativos, sabemos que o paraboloide está “virado para baixo”, ou seja, a concavidade está voltada para o eixo negativo de
.
Passo 5
Agora, para deixar a equação na forma canônica, que é a forma mais simplificada que facilita a identificação das características da superfície, já fizemos praticamente isso no Passo 2:
Essa é a forma canônica da nossa equação original.
Resposta
A equação
reduzida à forma canônica é
. A superfície representada por essa equação é um paraboloide elíptico aberto para baixo.
Exercícios relacionados
Identificar as superfícies definidas pelas equações, dizendo ao longo de que eixo elas ocorrem, conforme o caso.
Obter uma equação geral do plano tangente à superfície esférica
no ponto
para cada caso:
e
Seja
a dilatação
. Encontre um operador linear
tal que
.
Seja
uma base de um espaço vetorial real V. Sendo
dados por
e
, determinar em relação à base
as matrizes dos operadores
e
.