Reduza cada uma das equações à forma canônica (se necessário), identifique a superfície e esboce seu gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para reduzirmos a equação à forma canônica, identificar qual é a superfície representada por essa equação e desenhar o gráfico dela. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies quadráticas e como colocá-las na forma canônica.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar organizar a equação de forma que fique mais fácil de identificar a superfície. A equação dada é:
Vamos isolar o termo com :
Agora, dividindo todos os termos por 9 para simplificar:

Passo 3

A próxima etapa é reconhecer que essa equação se assemelha à equação geral de uma superfície parabólica. A forma geral de uma parábola tridimensional (paraboloide) pode ser escrita como:
Comparando com a nossa equação:
Vemos que e . Isso nos mostra que temos um paraboloide que está abrindo para baixo no eixo .

Passo 4

Para confirmar isso, lembramos que em um paraboloide, os coeficientes dos termos quadráticos determinam a orientação e a abertura da superfície. Como ambos os coeficientes são negativos, sabemos que o paraboloide está “virado para baixo”, ou seja, a concavidade está voltada para o eixo negativo de .

Passo 5

Agora, para deixar a equação na forma canônica, que é a forma mais simplificada que facilita a identificação das características da superfície, já fizemos praticamente isso no Passo 2:
Essa é a forma canônica da nossa equação original.

Resposta

A equação reduzida à forma canônica é . A superfície representada por essa equação é um paraboloide elíptico aberto para baixo.

Exercícios relacionados

Identificar as superfícies definidas pelas equações, dizendo ao longo de que eixo elas ocorrem, conforme o caso.
Obter uma equação geral do plano tangente à superfície esférica no ponto para cada caso:
e
Seja a dilatação . Encontre um operador linear tal que .
Seja uma base de um espaço vetorial real V. Sendo dados por e , determinar em relação à base as matrizes dos operadores e .