Seja
a dilatação
. Encontre um operador linear
tal que
.
Passo 1
Então, pessoal, o problema que temos aqui trata de operadores lineares em um espaço vetorial
. Especificamente, temos um operador
que faz uma dilatação, ou seja, multiplica qualquer vetor
por 4, ou seja,
. A pergunta é: como encontrar outro operador linear
que, quando composto com
, nos devolva o operador identidade
? Basicamente, queremos que
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um operador inverso em álgebra linear e como utilizá-lo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em álgebra linear, se temos um operador linear
, um operador inverso
é aquele que, quando composto com
, resulta no operador identidade. Ou seja:
No nosso caso, queremos encontrar
tal que:
Isso significa que
deve ser o inverso de
.
Passo 3
Sabendo que
, queremos encontrar uma transformação que “desfaça” essa dilataç��o. Em outras palavras, queremos
tal que, ao multiplicar por 4 novamente, voltamos ao vetor original
. Portanto, se multiplicarmos
por
, teremos:
Vamos verificar se isso funciona.
Passo 4
Vamos compor
e
para ver se obtemos o operador identidade.
Primeiro,
, que é exatamente o operador identidade.
Segundo,
, também nos dá o operador identidade.
Resposta
Portanto, o operador linear
que satisfaz
e
é dado por: