Seja a dilatação . Encontre um operador linear tal que .

Passo 1

Então, pessoal, o problema que temos aqui trata de operadores lineares em um espaço vetorial . Especificamente, temos um operador que faz uma dilatação, ou seja, multiplica qualquer vetor por 4, ou seja, . A pergunta é: como encontrar outro operador linear que, quando composto com , nos devolva o operador identidade ? Basicamente, queremos que e . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um operador inverso em álgebra linear e como utilizá-lo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em álgebra linear, se temos um operador linear , um operador inverso é aquele que, quando composto com , resulta no operador identidade. Ou seja:
No nosso caso, queremos encontrar tal que:
Isso significa que deve ser o inverso de .

Passo 3

Sabendo que , queremos encontrar uma transformação que “desfaça” essa dilataç��o. Em outras palavras, queremos tal que, ao multiplicar por 4 novamente, voltamos ao vetor original . Portanto, se multiplicarmos por , teremos:
Vamos verificar se isso funciona.

Passo 4

Vamos compor e para ver se obtemos o operador identidade.
Primeiro, , que é exatamente o operador identidade.
Segundo, , também nos dá o operador identidade.

Resposta

Portanto, o operador linear que satisfaz e é dado por:

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