A matriz A=[ccc1 & 2 & 3 x & y & z 2 & 1 & z] admite a transposta A^top=[ccc1 & x & 2 x-2 & y & 1 3 y & 6-y & z]. Nestas condições, calcule x, y e z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão nos dá uma matriz e a sua transposta , com algumas entradas representadas por variáveis , e . Nosso objetivo é encontrar os valores dessas variáveis. Para resolver isso, vamos usar o conceito de matriz transposta e igualar as posições correspondentes das duas matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz transposta. A transposta de uma matriz , denotada por , é obtida trocando as linhas pelas colunas. Ou seja, o elemento que estava na posição na matriz passa para a posição na matriz .

Passo 3

Vamos escrever a matriz A = 1 & 2 & 3 x & y & z 2 & 1 & z e a sua transposta A^top = 1 & x & 2 x-2 & y & 1 3y & 6 - y & z conforme o enunciado:

Passo 4

Agora, sabemos que a transposta de A^top = 1 & x & 2 2 & y & 1 3 & z & z também pode ser obtida trocando linhas por colunas diretamente:

Passo 5

Vamos igualar as duas expressões para 1 = 1 (já está certo) . Isso significa que os elementos correspondentes das duas matrizes devem ser iguais. Vamos comparar cada posição:
  1. Posição x = x - 2 :
2 = 2 (já está certo) áá
  1. Posição 2 = x - 2 :
y = y (já está certo)
  1. Posição 1 = 1 (já está certo) :
3y = 3 áá
  1. Posição 6 - y = z :
z = z (já está certo)
  1. Posição :
áá
  1. Posição :
áá
  1. Posição :
  1. Posição :
  1. Posição :
áá

Passo 6

Vamos resolver as equações que sobraram:
  1. Da posição 2 = x - 2 implies x = 2 + 2 = 4 :
3y = 3 implies y = 33 = 1
  1. Da posição 6 - y = z implies 6 - 1 = z implies z = 5 :
  1. Da posição :

Resposta

Assim, encontramos que , e .

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