Seja
o subespaço vetorial das matrizes quadradas
, definido por:
O conjunto
é uma base do espaço vetorial
? Justifique.
Passo 1
Então, temos que verificar se o conjunto
é uma base do subespaço vetorial
das matrizes
. Para isso, vamos precisar entender o que define o
e depois analisar se os vetores em
cumprem os requisitos de uma base, ou seja, se são linearmente independentes e geram todo o
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é o subespaço
. Ele é definido pelas matrizes:
Isso significa que qualquer matriz em
tem a condição de que o elemento
seja igual ao
, e o elemento
seja a soma de
e
. Portanto, podemos reescrever uma matriz genérica de
como:
Aqui, percebemos que os parâmetros livres são
e
, o que indica que a dimensão de
é 2.
Passo 3
Agora, vamos analisar o conjunto
:
Para
ser uma base de
, todos os vetores de
devem pertencer a
.
Passo 4
Vamos verificar se os vetores de
estão em
:
- Para a primeira matriz
: -
e ⇒ (ok). -
e ⇒ (ok). - Portanto, a primeira matriz está em
.
-
- Para a segunda matriz
: -
e ⇒ (não cumpre). - Mesmo já não cumprindo a primeira condição, vamos verificar
: ⇒ (ok). - Mas como
, essa matriz não está em .
-
Passo 5
Como nem todos os vetores de
pertencem a
, o conjunto
não é um subconjunto de
. E para que
seja uma base de
, todo vetor de
precisa estar em
.
Resposta
Não, o conjunto
não é uma base de
, pois nem todos os vetores de
pertencem ao subespaço
.