Seja W o subespaço vetorial das matrizes quadradas M2 times 2(R), definido por:
W=[ll a & b c & d ], onde a=d e c=a+b
O conjunto
S=[cc 1 & -1 0 & 1 ],[ll 2 & 1 3 & 4 ]
é uma base do espaço vetorial W ? Justifique.

Passo 1

Então, temos que verificar se o conjunto é uma base do subespaço vetorial das matrizes . Para isso, vamos precisar entender o que define o e depois analisar se os vetores em cumprem os requisitos de uma base, ou seja, se são linearmente independentes e geram todo o .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é o subespaço W = a & b c & d mid a = d e c = a + b . Ele é definido pelas matrizes:
a & b a + b & a
Isso significa que qualquer matriz em tem a condição de que o elemento seja igual ao , e o elemento seja a soma de e . Portanto, podemos reescrever uma matriz genérica de como:
Aqui, percebemos que os parâmetros livres são e , o que indica que a dimensão de é 2.

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto S = 1 & -1 0 & 1 , 2 & 1 3 & 4 :
Para ser uma base de , todos os vetores de devem pertencer a .

Passo 4

Vamos verificar se os vetores de 1 & -1 0 & 1 estão em 2 & 1 3 & 4 :
  1. Para a primeira matriz :
    • e (ok).
    • e (ok).
    • Portanto, a primeira matriz está em .
  2. Para a segunda matriz :
    • e (não cumpre).
    • Mesmo já não cumprindo a primeira condição, vamos verificar : (ok).
    • Mas como , essa matriz não está em .

Passo 5

Como nem todos os vetores de pertencem a , o conjunto não é um subconjunto de . E para que seja uma base de , todo vetor de precisa estar em .

Resposta

Não, o conjunto não é uma base de , pois nem todos os vetores de pertencem ao subespaço .

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