Identifique a cônica, determine seus vértices, focos, medida dos eixos, assíntotas no caso de hipérboles e reta diretriz no caso de parábola:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, temos que entender o que o problema está pedindo. A gente recebeu a equação e precisa:
Identificar qual é a cônica (parábola, elipse, hiperbola)
Encontrar os vértices
Determinar os focos
Medir os eixos
Se for hiperbola, achar as assíntotas
Se for parábola, achar a reta diretriz
Para resolver isso, vamos lembrar algumas coisas sobre as cônicas e suas características. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual cônica é a equação . As cônicas gerais são a parábola, a elipse e a hipérbole. Olhando para a equação, vemos que só tem e (não tem ou ), o que sugere que é uma parábola.
Passo 3
Vamos reescrever a equação para padrão da parábola. Geralmente, a equação da parábola que abre para cima ou para baixo tem a forma . Vamos arrumar nossa equação para essa forma:
Agora está na forma , onde . Então:
Passo 4
Agora que temos , podemos identificar os elementos da parábola:
Vértice: Para , o vértice é no ponto .
Foco: Fica a uma distância do vértice na direção da abertura da parábola. Como , o foco está em .
Diretriz: É uma reta perpendicular ao eixo de simetria da parábola, a uma distância do vértice, mas do lado oposto ao foco. Então, a diretriz é .
Passo 5
Vamos falar sobre os eixos:
Eixo de simetria: É a linha que divide a parábola ao meio. Para , é o eixo .
Abertura: Como , a parábola abre para cima.
Passo 6
Recapitulando tudo:
Cônica: Parábola
Vértice:
Foco:
Diretriz:
Eixo de simetria: Eixo
Abertura: Para cima
Resposta
A cônica é uma parábola com vértice na origem , foco em , diretriz na reta , eixo de simetria no eixo e que abre para cima.