Identifique a cônica, determine seus vértices, focos, medida dos eixos, assíntotas no caso de hipérboles e reta diretriz no caso de parábola:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, temos que entender o que o problema está pedindo. A gente recebeu a equação e precisa:
  • Identificar qual é a cônica (parábola, elipse, hiperbola)
  • Encontrar os vértices
  • Determinar os focos
  • Medir os eixos
  • Se for hiperbola, achar as assíntotas
  • Se for parábola, achar a reta diretriz
Para resolver isso, vamos lembrar algumas coisas sobre as cônicas e suas características. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual cônica é a equação . As cônicas gerais são a parábola, a elipse e a hipérbole. Olhando para a equação, vemos que só tem e (não tem ou ), o que sugere que é uma parábola.

Passo 3

Vamos reescrever a equação para padrão da parábola. Geralmente, a equação da parábola que abre para cima ou para baixo tem a forma . Vamos arrumar nossa equação para essa forma:
Agora está na forma , onde . Então:

Passo 4

Agora que temos , podemos identificar os elementos da parábola:
  • Vértice: Para , o vértice é no ponto .
  • Foco: Fica a uma distância do vértice na direção da abertura da parábola. Como , o foco está em .
  • Diretriz: É uma reta perpendicular ao eixo de simetria da parábola, a uma distância do vértice, mas do lado oposto ao foco. Então, a diretriz é .

Passo 5

Vamos falar sobre os eixos:
  • Eixo de simetria: É a linha que divide a parábola ao meio. Para , é o eixo .
  • Abertura: Como , a parábola abre para cima.

Passo 6

Recapitulando tudo:
  • Cônica: Parábola
  • Vértice:
  • Foco:
  • Diretriz:
  • Eixo de simetria: Eixo
  • Abertura: Para cima

Resposta

A cônica é uma parábola com vértice na origem , foco em , diretriz na reta , eixo de simetria no eixo e que abre para cima.

Exercícios relacionados

Resolva os sistemas lineares pelo método da substituição:
(ii)
A matriz é ortogonal? Justifique.
Reduza as matrizes à forma escalonada reduzida por linhas. Calcule seus postos e nulidades.
Resolva por escalonamento e classifique os sistemas lineares :
(iv)