Reduza as matrizes à forma escalonada reduzida por linhas. Calcule seus postos e nulidades.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz de 3 linhas e 4 colunas. O objetivo é transformá-la em uma forma escalonada reduzida por linhas, que é uma maneira organizada de facilitar a resolução de sistemas lineares. Para isso, vamos usar operações elementares de linha. Depois disso, a gente vai calcular o posto da matriz (que mostra a quantidade de linhas independentes) e a nulidade (que indica quantas variáveis livres temos).

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz original:
A gente começa pelo elemento líder na primeira linha e primeira coluna, que já é 1, ótimo!

Passo 3

Vamos eliminar os elementos abaixo do 1 na primeira coluna. Para isso:
  • Linha 2: Subtrair 2 vezes a Linha 1 da Linha 2.
  • Linha 3: Subtrair 3 vezes a Linha 1 da Linha 3.
Operações:
Resultado:

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda coluna. O elemento líder é 3 na Linha 2, coluna 2. Vamos transformar esse 3 em 1 dividindo a Linha 2 por 3.
Operação:
Resultado:

Passo 5

Agora, vamos eliminar os elementos acima e abaixo do 1 na segunda coluna:
  • Linha 1: Adicionar 2 vezes a Linha 2 à Linha 1.
  • Linha 3: Subtrair 7 vezes a Linha 2 da Linha 3.
Operações:
Resultado:

Passo 6

Vamos agora focar na terceira coluna. O elemento líder é na Linha 3, coluna 3. Vamos transformá-lo em 1 multiplicando a Linha 3 por .
Operação:
Resultado:

Passo 7

Vamos eliminar os elementos acima do 1 na terceira coluna:
  • Linha 1: Subtrair vezes a Linha 3 da Linha 1.
  • Linha 2: Adicionar vezes a Linha 3 à Linha 2.
Operações:
Resultado:

Passo 8

Pronto! A matriz está agora na forma escalonada reduzida por linhas:

Passo 9

Vamos calcular o posto da matriz. O posto é igual ao número de linhas não nulas na forma escalonada reduzida. Aqui, todas as 3 linhas são não nulas, então o posto é 3.
Para a nulidade, usamos a fórmula:
ú

Resposta

A forma escalonada reduzida por linhas da matriz é
O posto da matriz é 3 e a nulidade é 1.

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