Reduza as matrizes à forma escalonada reduzida por linhas. Calcule seus postos e nulidades.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz de 3 linhas e 4 colunas. O objetivo é transformá-la em uma forma escalonada reduzida por linhas, que é uma maneira organizada de facilitar a resolução de sistemas lineares. Para isso, vamos usar operações elementares de linha. Depois disso, a gente vai calcular o posto da matriz (que mostra a quantidade de linhas independentes) e a nulidade (que indica quantas variáveis livres temos).
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz original:
1 & -2 & 3 & -1 2 & -1 & 2 & 3 3 & 1 & 2 & 3
A gente começa pelo elemento líder na primeira linha e primeira coluna, que já é 1, ótimo!
Passo 3
Vamos eliminar os elementos abaixo do 1 na primeira coluna. Para isso:
Linha 2: Subtrair 2 vezes a Linha 1 da Linha 2.
Linha 3: Subtrair 3 vezes a Linha 1 da Linha 3.
Operações:
L2 = L2 - 2L1 L3 = L3 - 3L1
Resultado:
1 & -2 & 3 & -1 0 & 3 & -4 & 5 0 & 7 & -7 & 6
Passo 4
Agora, vamos focar na segunda coluna. O elemento líder é 3 na Linha 2, coluna 2. Vamos transformar esse 3 em 1 dividindo a Linha 2 por 3.
Operação:
L2 = L23
Resultado:
1 & -2 & 3 & -1 0 & 1 & -43 & 53 0 & 7 & -7 & 6
Passo 5
Agora, vamos eliminar os elementos acima e abaixo do 1 na segunda coluna:
Vamos agora focar na terceira coluna. O elemento líder é L3 = -3L3 na Linha 3, coluna 3. Vamos transformá-lo em 1 multiplicando a Linha 3 por 1 & 0 & 13 & 73 0 & 1 & -43 & 53 0 & 0 & 1 & 1 .
Operação:
Resultado:
Passo 7
Vamos eliminar os elementos acima do 1 na terceira coluna:
Linha 1: Subtrair L1 = L1 - 13L3 L2 = L2 + 43L3 vezes a Linha 3 da Linha 1.
Linha 2: Adicionar 1 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 1 vezes a Linha 3 à Linha 2.
Operações:
Resultado:
Passo 8
Pronto! A matriz está agora na forma escalonada reduzida por linhas:
1 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 1
Passo 9
Vamos calcular o posto da matriz. O posto é igual ao número de linhas não nulas na forma escalonada reduzida. Aqui, todas as 3 linhas são não nulas, então o posto é 3.
Para a nulidade, usamos a fórmula:
Nulidade = Número de colunas - Posto = 4 - 3 = 1 ú
Resposta
A forma escalonada reduzida por linhas da matriz é