Identifique a cônica e encontre os possíveis elementos (vértices, focos, eixos, segmento focal).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma equação que representa uma cônica, e precisamos primeiro identificar qual tipo de cônica é essa. Além disso, temos que encontrar alguns elementos importantes dela, como vértices, focos, eixos e o segmento focal. Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos sobre equações de cônicas, completando o quadrado e identificando os elementos característicos de cada tipo de cônica.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de forma mais clara:
Nosso objetivo aqui é colocar essa equação na forma padrão de uma cônica, seja ela elipse, hipérbole ou parábola.
Passo 3
Vamos reorganizar os termos para facilitar o trabalho. Primeiro, juntamos os termos em
e os termos em
:
Podemos multiplicar todos os termos por 4 para eliminar os denominadores:
Passo 4
Agora, vamos completar o quadrado para os termos em
. Primeiro, vamos isolar os termos de
e
:
Fatoramos o coeficiente de
:
Para completar o quadrado em
, pegamos o coeficiente de
, que é 2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos 1 dentro dos parênteses:
Isso simplifica para:
Passo 5
Vamos rearrumar os termos para isolar o lado com a equação da cônica:
Multiplicamos ambos os lados por -1 para facilitar a identificação:
Agora, dividimos todos os termos por -2 para que o lado direito seja 1:
Passo 6
Observando a forma obtida:
Percebemos que temos sinais diferentes para os termos em
e
, o que indica que estamos lidando com uma hipérbole.
Passo 7
Para identificar os elementos da hipérbole, vamos comparar com a forma padrão de uma hipérbole:
Dessa forma, temos:
Portanto:
Passo 8
Os vértices da hipérbole estão localizados a uma distância
do centro. O centro é
, então os vértices são:
Ou seja:
Passo 9
Os focos são encontrados usando a relação
:
Então:
Os focos estão localizados a uma distância
do centro:
Ou seja:
Passo 10
Os eixos da hipérbole são a reta que passa pelos vértices (eixos transverso e conjugado). Neste caso, como a hipérbole é vertical, os eixos são paralelos aos eixos coordenados:
Passo 11
O segmento focal, ou a distância entre os focos, é
:
Resposta
A cônica é uma hipérbole com centro em
. Seus vértices estão em
e
, os focos em
e
. Os eixos são paralelo aos eixos coordenados, e o segmento focal mede
.
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Suponhamos que a transformação linear
na base
tem a matriz
. A transformação linear
na base
e
tem a matriz
. Calcular a matriz da transformação linear
na base
.