Identifique a cônica e encontre os possíveis elementos (vértices, focos, eixos, segmento focal).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma equação que representa uma cônica, e precisamos primeiro identificar qual tipo de cônica é essa. Além disso, temos que encontrar alguns elementos importantes dela, como vértices, focos, eixos e o segmento focal. Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos sobre equações de cônicas, completando o quadrado e identificando os elementos característicos de cada tipo de cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de forma mais clara:
Nosso objetivo aqui é colocar essa equação na forma padrão de uma cônica, seja ela elipse, hipérbole ou parábola.

Passo 3

Vamos reorganizar os termos para facilitar o trabalho. Primeiro, juntamos os termos em e os termos em :
Podemos multiplicar todos os termos por 4 para eliminar os denominadores:

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado para os termos em . Primeiro, vamos isolar os termos de e :
Fatoramos o coeficiente de :
Para completar o quadrado em , pegamos o coeficiente de , que é 2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos 1 dentro dos parênteses:
Isso simplifica para:

Passo 5

Vamos rearrumar os termos para isolar o lado com a equação da cônica:
Multiplicamos ambos os lados por -1 para facilitar a identificação:
Agora, dividimos todos os termos por -2 para que o lado direito seja 1:

Passo 6

Observando a forma obtida:
Percebemos que temos sinais diferentes para os termos em e , o que indica que estamos lidando com uma hipérbole.

Passo 7

Para identificar os elementos da hipérbole, vamos comparar com a forma padrão de uma hipérbole:
Dessa forma, temos:
Portanto:

Passo 8

Os vértices da hipérbole estão localizados a uma distância do centro. O centro é , então os vértices são:
Ou seja:
é

Passo 9

Os focos são encontrados usando a relação :
Então:
Os focos estão localizados a uma distância do centro:
Ou seja:

Passo 10

Os eixos da hipérbole são a reta que passa pelos vértices (eixos transverso e conjugado). Neste caso, como a hipérbole é vertical, os eixos são paralelos aos eixos coordenados:

Passo 11

O segmento focal, ou a distância entre os focos, é :

Resposta

A cônica é uma hipérbole com centro em . Seus vértices estão em e , os focos em e . Os eixos são paralelo aos eixos coordenados, e o segmento focal mede .

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