Identifique a cônica e encontre os possíveis elementos (vértices, focos, eixos, segmento focal). -x^24-x2+y^29=3 / 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma equação que representa uma cônica, e precisamos primeiro identificar qual tipo de cônica é essa. Além disso, temos que encontrar alguns elementos importantes dela, como vértices, focos, eixos e o segmento focal. Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos sobre equações de cônicas, completando o quadrado e identificando os elementos característicos de cada tipo de cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de forma mais clara:
-x^24 - x2 + y^29 = 34
Nosso objetivo aqui é colocar essa equação na forma padrão de uma cônica, seja ela elipse, hipérbole ou parábola.

Passo 3

Vamos reorganizar os termos para facilitar o trabalho. Primeiro, juntamos os termos em -x^24 - x2 + y^29 = 34 e os termos em - x^2 - 2x + 4y^29 = 3 :
Podemos multiplicar todos os termos por 4 para eliminar os denominadores:

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado para os termos em - x^2 - 2x + 4y^29 = 3 . Primeiro, vamos isolar os termos de - (x^2 + 2x) + 4y^29 = 3 e (22)^2 = 1 :
- (x^2 + 2x + 1 - 1) + 4y^29 = 3
Fatoramos o coeficiente de - (x + 1)^2 + 1 + 4y^29 = 3 :
Para completar o quadrado em , pegamos o coeficiente de , que é 2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos 1 dentro dos parênteses:
Isso simplifica para:

Passo 5

Vamos rearrumar os termos para isolar o lado com a equação da cônica:
- (x + 1)^2 + 4y^29 = 2
Multiplicamos ambos os lados por -1 para facilitar a identificação:
(x + 1)^2 - 4y^29 = -2
Agora, dividimos todos os termos por -2 para que o lado direito seja 1:
- (x + 1)^22 + 2y^29 = 1

Passo 6

Observando a forma obtida:
- (x + 1)^22 + 2y^29 = 1
Percebemos que temos sinais diferentes para os termos em e , o que indica que estamos lidando com uma hipérbole.

Passo 7

Para identificar os elementos da hipérbole, vamos comparar com a forma padrão de uma hipérbole:
(y - k)^2b^2 - (x - h)^2a^2 = 1
Dessa forma, temos:
h = -1, k = 0, a^2 = 2, b^2 = 92
Portanto:
a = raiz2, b = 3raiz2

Passo 8

Os vértices da hipérbole estão localizados a uma distância (-1, 0 pm a) = (-1, 0 pm raiz2) do centro. O centro é Vértices: (-1, raiz2) e (-1, -raiz2) , então os vértices são:
Ou seja:
é

Passo 9

Os focos são encontrados usando a relação c^2 = 2 + 92 = 132 :
c = raiz132 = raiz262
Então:
(-1, 0 pm c) = (-1, 0 pm raiz262)
Os focos estão localizados a uma distância Focos: (-1, raiz262) e (-1, -raiz262) do centro:
Ou seja:

Passo 10

Os eixos da hipérbole são a reta que passa pelos vértices (eixos transverso e conjugado). Neste caso, como a hipérbole é vertical, os eixos são paralelos aos eixos coordenados:

Passo 11

O segmento focal, ou a distância entre os focos, é Segmento Focal = 2 times raiz262 = raiz26 :

Resposta

A cônica é uma hipérbole com centro em . Seus vértices estão em e , os focos em e . Os eixos são paralelo aos eixos coordenados, e o segmento focal mede .

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