Suponhamos que a transformação linear
na base
tem a matriz
. A transformação linear
na base
e
tem a matriz
. Calcular a matriz da transformação linear
na base
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas transformações lineares,
e
, cada uma definida em uma base diferente. A gente precisa encontrar a matriz da transformação
na base
e
. Para isso, vamos precisar entender como mudar de uma base para outra e como somar matrizes de transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para somar duas transformações lineares, elas precisam estar representadas na mesma base. Como
está na base
e
na base
, precisamos converter uma delas para a base da outra. Vamos optar por converter
para a base
.
Passo 3
Para mudar a matriz de
da base
para a base
, usamos a fórmula:
Onde
é a matriz de mudança da base
para a base
, e
é a matriz que representa as coordenadas da base
na base
.
Passo 4
Vamos construir a matriz
. As colunas de
são os vetores da base
expressos na base
. Ou seja, precisamos escrever
e
em termos de
e
.
Temos:
Precisamos resolver sistemas para encontrar
e o mesmo para
.
Passo 5
Resolvendo para
:
Resolvendo, encontramos
e
.
Para
:
Resolvendo, encontramos
e
.
Então, a matriz
é:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar a matriz de mudança
, que é a inversa de
:
Calculando a inversa de
:
Passo 7
Agora, vamos usar a fórmula para mudar a base de
:
Onde:
Multiplicando:
Primeiro multiplicamos as duas primeiras matrizes:
Agora multiplicamos pelo
:
Passo 8
Agora que temos
e
, podemos somar as duas matrizes para encontrar
:
Resposta
A matriz da transformação linear
na base
é: