Suponhamos que a transformação linear na base tem a matriz . A transformação linear na base e tem a matriz . Calcular a matriz da transformação linear na base .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas transformações lineares, e , cada uma definida em uma base diferente. A gente precisa encontrar a matriz da transformação na base e . Para isso, vamos precisar entender como mudar de uma base para outra e como somar matrizes de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para somar duas transformações lineares, elas precisam estar representadas na mesma base. Como está na base e na base , precisamos converter uma delas para a base da outra. Vamos optar por converter para a base .

Passo 3

Para mudar a matriz de da base para a base , usamos a fórmula:
Onde é a matriz de mudança da base para a base , e é a matriz que representa as coordenadas da base na base .

Passo 4

Vamos construir a matriz . As colunas de são os vetores da base expressos na base . Ou seja, precisamos escrever e em termos de e .
Temos:
Precisamos resolver sistemas para encontrar e o mesmo para .

Passo 5

Resolvendo para :
Resolvendo, encontramos e .
Para :
Resolvendo, encontramos e .
Então, a matriz é:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a matriz de mudança , que é a inversa de :
Calculando a inversa de :

Passo 7

Agora, vamos usar a fórmula para mudar a base de :
Onde:
Multiplicando:
Primeiro multiplicamos as duas primeiras matrizes:
Agora multiplicamos pelo :

Passo 8

Agora que temos e , podemos somar as duas matrizes para encontrar :

Resposta

A matriz da transformação linear na base é:

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