Suponhamos que a transformação linear na base tem a matriz . A transformação linear na base e tem a matriz . Calcular a matriz da transformação linear na base .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas transformações lineares, e , cada uma definida em uma base diferente. A gente precisa encontrar a matriz da transformação na base e . Para isso, vamos precisar entender como mudar de uma base para outra e como somar matrizes de transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para somar duas transformações lineares, elas precisam estar representadas na mesma base. Como está na base e na base , precisamos converter uma delas para a base da outra. Vamos optar por converter para a base .
Passo 3
Para mudar a matriz de da base para a base , usamos a fórmula:
Onde é a matriz de mudança da base para a base , e é a matriz que representa as coordenadas da base na base .
Passo 4
Vamos construir a matriz . As colunas de são os vetores da base expressos na base . Ou seja, precisamos escrever e em termos de e .
Temos:
Precisamos resolver sistemas para encontrar e o mesmo para .
Passo 5
Resolvendo para :
Resolvendo, encontramos e .
Para :
Resolvendo, encontramos e .
Então, a matriz é:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar a matriz de mudança , que é a inversa de :
Calculando a inversa de :
Passo 7
Agora, vamos usar a fórmula para mudar a base de :
Onde:
Multiplicando:
Primeiro multiplicamos as duas primeiras matrizes:
Agora multiplicamos pelo :
Passo 8
Agora que temos e , podemos somar as duas matrizes para encontrar :