Suponhamos que a transformação linear T na base a1=(1,2), a2=(2,3) tem a matriz [ll3 & 5 4 & 3]. A transformação linear S na base b1=(3,1) e b2=(4,2) tem a matriz [ll4 & 6 6 & 9]. Calcular a matriz da transformação linear T+S na base b1 e b2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas transformações lineares, e , cada uma definida em uma base diferente. A gente precisa encontrar a matriz da transformação na base e . Para isso, vamos precisar entender como mudar de uma base para outra e como somar matrizes de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para somar duas transformações lineares, elas precisam estar representadas na mesma base. Como está na base e na base , precisamos converter uma delas para a base da outra. Vamos optar por converter para a base .

Passo 3

Para mudar a matriz de [T]b = P^-1 [T]a Q da base para a base , usamos a fórmula:
Onde é a matriz de mudança da base para a base , e é a matriz que representa as coordenadas da base na base .

Passo 4

Vamos construir a matriz a1 = (1, 2), a2 = (2, 3) . As colunas de b1 = (3, 1), b2 = (4, 2) são os vetores da base expressos na base . Ou seja, precisamos escrever e em termos de e .
Temos:
Precisamos resolver sistemas para encontrar e o mesmo para .

Passo 5

Resolvendo para x cdot 1 + y cdot 2 = 3 x cdot 2 + y cdot 3 = 1 :
x cdot 1 + y cdot 2 = 4 x cdot 2 + y cdot 3 = 2
Resolvendo, encontramos Q = 7 & 8 -2 & -2 e .
Para :
Resolvendo, encontramos e .
Então, a matriz é:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a matriz de mudança P = Q^-1 , que é a inversa de P = 1(7)(-2) - (8)(-2) -2 & -8 2 & 7 = 1-14 + 16 -2 & -8 2 & 7 = 12 -2 & -8 2 & 7 = -1 & -4 1 & 3.5 :
Calculando a inversa de :

Passo 7

Agora, vamos usar a fórmula para mudar a base de [T]b = P [T]a Q :
[T]a = 3 & 5 4 & 3 , Q = 7 & 8 -2 & -2 , P = -1 & -4 1 & 3.5
Onde:
[T]b = -1 & -4 1 & 3.5 3 & 5 4 & 3 7 & 8 -2 & -2
Multiplicando:
-1 cdot 3 + (-4) cdot 4 & -1 cdot 5 + (-4) cdot 3 1 cdot 3 + 3.5 cdot 4 & 1 cdot 5 + 3.5 cdot 3 = -3 -16 & -5 -12 3 +14 & 5 +10.5 = -19 & -17 17 & 15.5
Primeiro multiplicamos as duas primeiras matrizes:
-19 & -17 17 & 15.5 7 & 8 -2 & -2 = (-19)(7) + (-17)(-2) & (-19)(8) + (-17)(-2) (17)(7) + (15.5)(-2) & (17)(8) + (15.5)(-2) = -133 + 34 & -152 + 34 119 -31 & 136 -31 = -99 & -118 88 & 105
Agora multiplicamos pelo :

Passo 8

Agora que temos -99 & -118 88 & 105 e 4 & 6 6 & 9 , podemos somar as duas matrizes para encontrar [T + S]b = [T]b + [S]b = -99 + 4 & -118 + 6 88 + 6 & 105 + 9 = -95 & -112 94 & 114 :

Resposta

A matriz da transformação linear [T + S]b = -95 & -112 94 & 114 na base é:

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