Seja
. Então:
Resolvendo o sistema:
chegaremos a
z= pm 13, x= pm 23 e
y=mp 23 .
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w=( pm 23, mp 23, pm 13)= pm 13(2,-2,1) .
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um vetor
com algumas condições:
- A norma de
é 1, ou seja, . - O produto interno de
e é zero: . - O produto interno de
e também é zero: .
Vamos usar essas equações para encontrar os valores de , e .
Passo 2
Primeiro, vamos resolver as equações lineares para simplificar. Da segunda equação:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, substituímos
y + 2z = 0 na terceira equação:
Então, podemos expressar
em função de
:
Passo 4
Agora temos
x^2 + y^2 + z^2 = 1 . Então, temos
(2z)^2 + (-2z)^2 + z^2 = 1 e
4z^2 + 4z^2 + z^2 = 1 . Vamos substituir esses valores na primeira equação, que é a norma do vetor:
Substituindo:
Passo 5
Somando os termos:
Agora, isolamos
z^2 = 19 :
Então, tirando a raiz quadrada:
Passo 6
Com
x = 2z = pm 23 , encontramos
y = -2z = mp 23 e
:
Resposta
Portanto, as soluções para
w = ( pm 23, mp 23, pm 13 ) = pm 13(2, -2, 1) são: