Identifique o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem a cada equação dada a seguir.
x^2+y^2-10 x+2 y+27=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente identificar todos os pontos (x, y) que satisfazem a equação x^2 + y^2 - 10x + 2y + 27 = 0. Isso significa que estamos lidando com a equação de um círculo. Para resolver, vamos precisar usar o método de completar o quadrado para reescrever essa equação na forma padrão de um círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de x e os de y juntos:
x^2 - 10x + y^2 + 2y + 27 = 0
Agora, vamos separar os termos constantes do resto:
x^2 - 10x + y^2 + 2y = -27

Passo 3

Vamos completar o quadrado para os termos de x. Olha só como faz:
  1. Pegue o coeficiente de x, que é -10, e divida por 2: -10 / 2 = -5.
  2. Eleve ao quadrado: (-5)^2 = 25.
  3. Adicione e subtraia esse valor na equação:
x^2 - 10x + 25 - 25 + y^2 + 2y = -27
Agora, podemos escrever x^2 - 10x + 25 como (x - 5)^2.

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para os termos de y:
  1. Pegue o coeficiente de y, que é 2, e divida por 2: 2 / 2 = 1.
  2. Eleve ao quadrado: 1^2 = 1.
  3. Adicione e subtraia esse valor na equação:
(x - 5)^2 - 25 + y^2 + 2y + 1 - 1 = -27
Agora, podemos escrever y^2 + 2y + 1 como (y + 1)^2.

Passo 5

Vamos simplificar a equação juntando tudo:
(x - 5)^2 + (y + 1)^2 - 25 - 1 = -27
(x - 5)^2 + (y + 1)^2 - 26 = -27
Agora, isolamos os termos quadráticos:
(x - 5)^2 + (y + 1)^2 = -27 + 26
(x - 5)^2 + (y + 1)^2 = -1
Mas espera aí! Um círculo não pode ter raio imaginário. Isso significa que não existem pontos reais (x, y) que satisfaçam essa equação.

Resposta

Não existem pontos (x, y) reais que satisfazem a equação x^2 + y^2 - 10x + 2y + 27 = 0, ou seja, o conjunto solução é vazio.

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