Questāo 5 (1 ponto) Determine a matriz, em relação à base canônica, do operador linear T: R^2 R^2 em que T é a projeção ortogonal sobre a reta y=4 x.
& Pros orto =(ll 11+a^2 & a1+a^2 a1+a^2 & 2 a1+a^2 ) a=4 & P=(11+(4^2) & P=(cc 117 & 417 417 & 817 )

Passo 1

Vamos resolver a questão que pede para determinar a matriz do operador linear em relação à base canônica, onde é a projeção ortogonal sobre a reta . Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre projeções ortogonais e matrizes de operadores lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma projeção ortogonal. Uma projeção ortogonal de um vetor sobre uma reta é o ponto mais próximo na reta para esse vetor. Matematicamente, para uma reta definida por P = 11 + a^2 1 & a a & a^2 , a matriz de projeção é dada por:

Passo 3

No nosso caso, a reta é P = 11 + 4^2 1 & 4 4 & 16 , então . Vamos substituir esse valor na fórmula da matriz de projeção:

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor de 11 + 16 = 117 :
P = 117 1 & 4 4 & 16 = 117 & 417 417 & 1617
Portanto, a matriz de projeção fica:

Resposta

A matriz do operador linear P = 117 & 417 417 & 1617 em relação à base canônica é:

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