Identifique quais dos conjuntos abaixo não são LI. Justifique. .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de vetores que pertence ao espaço . O objetivo é identificar quais subconjuntos desse conjunto não são linearmente independentes (LI). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente e como verificar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se não conseguimos escrever nenhum vetor do conjunto como uma combinação dos outros, então os vetores são LI.
Passo 3
Agora, observamos que estamos trabalhando em , que é um espaço tridimensional. Sabemos que no máximo podemos ter 3 vetores linearmente independentes nesse espaço. Como o conjunto tem 4 vetores, pelo menos um deles deve ser uma combinação linear dos outros, o que significa que o conjunto não é linearmente independente.
Passo 4
Para justificar isso de forma mais detalhada, podemos montar uma combinação linear dos vetores e verificar se existe uma solução não trivial (ou seja, diferente de todos os coeficientes serem zero). Vamos supor que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos que , e . Podemos escolher, por exemplo, , então e . Isso nos dá uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero, confirmando que os vetores não são linearmente independentes.