Identifique quais dos conjuntos abaixo não são LI. Justifique.
varphi=(1,0,4),(1,0,0),(0,2,1),(0,0,1) subset R^3.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de vetores que pertence ao espaço . O objetivo é identificar quais subconjuntos desse conjunto não são linearmente independentes (LI). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente e como verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se não conseguimos escrever nenhum vetor do conjunto como uma combinação dos outros, então os vetores são LI.

Passo 3

Agora, observamos que estamos trabalhando em , que é um espaço tridimensional. Sabemos que no máximo podemos ter 3 vetores linearmente independentes nesse espaço. Como o conjunto tem 4 vetores, pelo menos um deles deve ser uma combinação linear dos outros, o que significa que o conjunto não é linearmente independente.

Passo 4

Para justificar isso de forma mais detalhada, podemos montar uma combinação linear dos vetores e verificar se existe uma solução não trivial (ou seja, diferente de todos os coeficientes serem zero). Vamos supor que:
a(1,0,4) + b(1,0,0) + c(0,2,1) + d(0,0,1) = (0,0,0)
Isso nos dá o sistema de equações:
a + b = 0 2c = 0 4a + c + d = 0
Resolvendo esse sistema, encontramos que , e . Podemos escolher, por exemplo, , então e . Isso nos dá uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero, confirmando que os vetores não são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto não é linearmente independente.

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