Identifique qual dos conjuntos abaixo não é um subespaço de . Justifique.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar qual dos conjuntos listados não é um subespaço de , que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com números reais. A gente vai focar no conjunto . Para resolver isso, vamos lembrar o que é um subespaço e verificar se satisfaz todas as condições necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que define um subespaço. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se:
  1. O vetor zero de está em .
  2. Se dois vetores estão em , a soma deles também está em (fechamento sob adição).
  3. Se um vetor está em , qualquer múltiplo escalar dele também está em (fechamento sob multiplicação por escalar).
Vamos ver se o conjunto cumpre essas três condições.

Passo 3

1. Vetor zero está em :
O vetor zero em é a matriz onde todos os elementos são zero:
A traça dessa matriz é:
Então, . Primeira condição satisfeita!

Passo 4

2. Fechamento sob adição:
Vamos pegar duas matrizes e que estão em , ou seja, e . A soma delas é .
A traça de é:
Então, . Segunda condição satisfeita!

Passo 5

3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz e um escalar . A matriz tem traça:
Então, . Terceira condição satisfeita!

Resposta

O conjunto é um subespaço de , pois satisfaz todas as condições necessárias de um subespaço.

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Identifique quais dos conjuntos abaixo não são LI. Justifique.
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