Identifique qual dos conjuntos abaixo não é um subespaço de
. Justifique.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar qual dos conjuntos listados não é um subespaço de
, que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com números reais. A gente vai focar no conjunto
. Para resolver isso, vamos lembrar o que é um subespaço e verificar se
satisfaz todas as condições necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que define um subespaço. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço se:
- O vetor zero de
está em . - Se dois vetores estão em
, a soma deles também está em (fechamento sob adição). - Se um vetor está em
, qualquer múltiplo escalar dele também está em (fechamento sob multiplicação por escalar).
Vamos ver se o conjunto
cumpre essas três condições.
Passo 3
1. Vetor zero está em
:
O vetor zero em
é a matriz onde todos os elementos são zero:
A traça dessa matriz é:
Então,
. Primeira condição satisfeita!
Passo 4
2. Fechamento sob adição:
Vamos pegar duas matrizes
e
que estão em
, ou seja,
e
. A soma delas é
.
A traça de
é:
Então,
. Segunda condição satisfeita!
Passo 5
3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz
e um escalar
. A matriz
tem traça:
Então,
. Terceira condição satisfeita!
Resposta
O conjunto
é um subespaço de
, pois satisfaz todas as condições necessárias de um subespaço.
Exercícios relacionados
Identifique qual dos conjuntos abaixo não é um subespaço de
. Justifique.
.
Identifique qual dos conjuntos abaixo não é um subespaço de
. Justifique.
.
Identifique qual dos conjuntos abaixo não é um subespaço de
. Justifique.
.
Identifique quais dos conjuntos abaixo não são LI. Justifique.
.