Identifique qual dos conjuntos abaixo não é um subespaço de . Justifique.
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para identificar se o conjunto é um subespaço de . A gente vai precisar mexer com conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Vamos ver o que é necessário para que um conjunto seja considerado um subespaço e aplicar isso no conjunto .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial precisa satisfazer três condições básicas:
  1. Conter o vetor nulo: O conjunto deve incluir o vetor (ou matriz, no caso) que representa o zero.
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois elementos qualquer do conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar qualquer elemento do conjunto e multiplicar por um número qualquer (escalar), o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar essas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Contém o vetor nulo?
O vetor nulo no contexto de matrizes é a matriz onde todos os elementos são zero:
A determinante dessa matriz é:
Então, . Essa condição está satisfeita.

Passo 4

2. Fechado sob adição?
Vamos pegar duas matrizes quaisquer de , digamos e , onde e . Queremos ver se também está em , ou seja, se .
No entanto, a determinante não é uma função linear, ou seja, em geral:
Por exemplo, considere:
Ambas têm determinantes zero:
Mas , cuja determinante é:
Então, . Essa condição não é satisfeita.

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar?
Mesmo que a condição de fechamento sob adição já falhou, vamos verificar essa também para completar.
Pegue uma matriz e um escalar . Queremos verificar se , ou seja, se .
A determinante de para uma matriz é:
Como , então:
Portanto, . Essa condição está satisfeita.

Resposta

Como o conjunto não é fechado sob adição, ele não é um subespaço de .

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Identifique qual dos conjuntos abaixo não é um subespaço de . Justifique.
.
Identifique qual dos conjuntos abaixo não é um subespaço de . Justifique.
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Identifique quais dos conjuntos abaixo não são LI. Justifique.
.
O vetor pode ser escrito como combinação linear dos vetores e e os escalares dessa combinação são:
a) 1,0 e 4 .
b) todos não nulos.
c) iguais entre si.
d) todos nulos.
e) 2,0 e 8 .