Identifique qual dos conjuntos abaixo não é um subespaço de
. Justifique.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para identificar se o conjunto
é um subespaço de
. A gente vai precisar mexer com conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Vamos ver o que é necessário para que um conjunto seja considerado um subespaço e aplicar isso no conjunto
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial precisa satisfazer três condições básicas:
- Conter o vetor nulo: O conjunto deve incluir o vetor (ou matriz, no caso) que representa o zero.
- Fechado sob adição: Se você pegar dois elementos qualquer do conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar qualquer elemento do conjunto e multiplicar por um número qualquer (escalar), o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar essas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Contém o vetor nulo?
O vetor nulo no contexto de matrizes é a matriz onde todos os elementos são zero:
A determinante dessa matriz é:
Então,
. Essa condição está satisfeita.
Passo 4
2. Fechado sob adição?
Vamos pegar duas matrizes quaisquer de
, digamos
e
, onde
e
. Queremos ver se
também está em
, ou seja, se
.
No entanto, a determinante não é uma função linear, ou seja, em geral:
Por exemplo, considere:
Ambas têm determinantes zero:
Mas
, cuja determinante é:
Então,
. Essa condição não é satisfeita.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar?
Mesmo que a condição de fechamento sob adição já falhou, vamos verificar essa também para completar.
Pegue uma matriz
e um escalar
. Queremos verificar se
, ou seja, se
.
A determinante de
para uma matriz
é:
Como
, então:
Portanto,
. Essa condição está satisfeita.
Resposta
Como o conjunto
não é fechado sob adição, ele não é um subespaço de
.
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Identifique qual dos conjuntos abaixo não é um subespaço de
. Justifique.
.
Identifique qual dos conjuntos abaixo não é um subespaço de
. Justifique.
.
Identifique quais dos conjuntos abaixo não são LI. Justifique.
.
O vetor
pode ser escrito como combinação linear dos vetores
e
e os escalares dessa combinação são:
a) 1,0 e 4 .
b) todos não nulos.
c) iguais entre si.
d) todos nulos.
e) 2,0 e 8 .
a) 1,0 e 4 .
b) todos não nulos.
c) iguais entre si.
d) todos nulos.
e) 2,0 e 8 .