Identifique qual dos conjuntos abaixo não é um subespaço de M2(R). Justifique.
T=A in M2(R) / det(A)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para identificar se o conjunto é um subespaço de . A gente vai precisar mexer com conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Vamos ver o que é necessário para que um conjunto seja considerado um subespaço e aplicar isso no conjunto .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial precisa satisfazer três condições básicas:
  1. Conter o vetor nulo: O conjunto deve incluir o vetor (ou matriz, no caso) que representa o zero.
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois elementos qualquer do conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar qualquer elemento do conjunto e multiplicar por um número qualquer (escalar), o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar essas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Contém o vetor nulo?
O vetor nulo no contexto de matrizes é a matriz onde todos os elementos são zero:
O = 0 & 0 0 & 0
A determinante dessa matriz é:
det(O) = 0 cdot 0 - 0 cdot 0 = 0
Então, . Essa condição está satisfeita.

Passo 4

2. Fechado sob adição?
Vamos pegar duas matrizes quaisquer de det(A + B) neq det(A) + det(B) , digamos A = 1 & 0 0 & 0 , B = 0 & 0 0 & 1 e det(A) = 1 cdot 0 - 0 cdot 0 = 0, det(B) = 0 cdot 1 - 0 cdot 0 = 0 , onde 1 & 0 0 & 1 e det(A + B) = 1 cdot 1 - 0 cdot 0 = 1 neq 0 . Queremos ver se também está em , ou seja, se .
No entanto, a determinante não é uma função linear, ou seja, em geral:
Por exemplo, considere:
Ambas têm determinantes zero:
Mas , cuja determinante é:
Então, . Essa condição não é satisfeita.

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar?
Mesmo que a condição de fechamento sob adição já falhou, vamos verificar essa também para completar.
Pegue uma matriz det(cA) = c^2 det(A) e um escalar det(cA) = c^2 cdot 0 = 0 . Queremos verificar se , ou seja, se .
A determinante de para uma matriz é:
Como , então:
Portanto, . Essa condição está satisfeita.

Resposta

Como o conjunto não é fechado sob adição, ele não é um subespaço de .

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