Identifique qual dos conjuntos abaixo não é um subespaço de M2(R). Justifique.
G=A in M2(R) / a11+a22=0.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo a questão. A gente precisa identificar qual dos conjuntos listados não é um subespaço do conjunto de todas as matrizes 2x2 com números reais, denotado por . O conjunto que vamos analisar aqui é . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de subespaço vetorial, que incluem verificar se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o conjunto 0 & 0 0 & 0 contém a matriz zero. A matriz zero em é:
Aqui, e , então . Isso satisfaz a condição para pertencer a , então a matriz zero está em .

Passo 3

Agora, vamos ver se o conjunto A = a11 & a12 a21 & a22 , B = b11 & b12 b21 & b22 é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos duas matrizes qualquer de A + B = a11 + b11 & a12 + b12 a21 + b21 & a22 + b22 , a soma delas também deve estar em (a11 + b11) + (a22 + b22) = (a11 + a22) + (b11 + b22) = 0 + 0 = 0 .
Vamos considerar duas matrizes e em :
Como e estão em , temos que e .
A soma é:
Vamos verificar a condição para :
Então, também está em .

Passo 4

Por último, vamos verificar se cA = c cdot a11 & c cdot a12 c cdot a21 & c cdot a22 é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se pegarmos qualquer matriz (c cdot a11) + (c cdot a22) = c(a11 + a22) = c cdot 0 = 0 em e um escalar , a matriz também deve estar em .
Multiplicando a matriz por :
Vamos verificar a condição para :
Então, também está em .

Resposta

Como o conjunto contém a matriz zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, ele é um subespaço de .

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