Identifique qual dos conjuntos abaixo não é um subespaço de . Justifique.
.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo a questão. A gente precisa identificar qual dos conjuntos listados não é um subespaço do conjunto de todas as matrizes 2x2 com números reais, denotado por . O conjunto que vamos analisar aqui é . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de subespaço vetorial, que incluem verificar se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o conjunto contém a matriz zero. A matriz zero em é:
Aqui, e , então . Isso satisfaz a condição para pertencer a , então a matriz zero está em .

Passo 3

Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos duas matrizes qualquer de , a soma delas também deve estar em .
Vamos considerar duas matrizes e em :
Como e estão em , temos que e .
A soma é:
Vamos verificar a condição para :
Então, também está em .

Passo 4

Por último, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se pegarmos qualquer matriz em e um escalar , a matriz também deve estar em .
Multiplicando a matriz por :
Vamos verificar a condição para :
Então, também está em .

Resposta

Como o conjunto contém a matriz zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, ele é um subespaço de .

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Identifique qual dos conjuntos abaixo não é um subespaço de . Justifique.
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Mostre que se e são conjuntos, então
a) mostrando que cada lado é um subconjunto do outro lado.
Identifique qual dos conjuntos abaixo não é um subespaço de . Justifique.
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Identifique qual dos conjuntos abaixo não é um subespaço de . Justifique.
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