Identifique qual dos conjuntos abaixo não é um subespaço de
. Justifique.
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo a questão. A gente precisa identificar qual dos conjuntos listados não é um subespaço do conjunto de todas as matrizes 2x2 com números reais, denotado por
. O conjunto que vamos analisar aqui é
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de subespaço vetorial, que incluem verificar se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o conjunto
contém a matriz zero. A matriz zero em
é:
Aqui,
e
, então
. Isso satisfaz a condição para pertencer a
, então a matriz zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos ver se o conjunto
é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos duas matrizes qualquer de
, a soma delas também deve estar em
.
Vamos considerar duas matrizes
e
em
:
Como
e
estão em
, temos que
e
.
A soma
é:
Vamos verificar a condição para
:
Então,
também está em
.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se pegarmos qualquer matriz
em
e um escalar
, a matriz
também deve estar em
.
Multiplicando a matriz
por
:
Vamos verificar a condição para
:
Então,
também está em
.
Resposta
Como o conjunto
contém a matriz zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, ele é um subespaço de
.