Seja um conjunto, denotemos com o conjunto onde seus elementos são todos os subconjuntos de .
(a) Seja determine os 8 elementos de .
(b) Mostre usando indução que, se tem elementos então tem elementos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas partes aqui:
a) Precisamos encontrar todos os subconjuntos do conjunto .
b) Vamos provar, usando indução matemática, que se um conjunto tem elementos, então o conjunto das partes tem elementos.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subconjunto e o que é o conjunto das partes. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte (a). O conjunto das partes é o conjunto de todos os subconjuntos de . Ou seja, inclui desde o conjunto vazio até o próprio conjunto .
Como , que tem 3 elementos, sabemos que o número de subconjuntos é . Vamos listar todos eles:
  1. O conjunto vazio:
  2. Subconjuntos com apenas um elemento:
  3. Subconjuntos com dois elementos:
  4. O próprio conjunto :

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b), onde precisamos usar indução matemática para provar que se um conjunto tem elementos, então tem elementos.
A indução tem dois passos principais:
  1. Base da Indução: Verificar se a afirmação é verdadeira para .
  2. Passo Indutivo: Assumir que a afirmação é verdadeira para algum e, então, mostrar que ela também é verdadeira para .

Passo 4

Base da Indução ( ):
Se tem 0 elementos, então . O conjunto das partes de é , que tem exatamente 1 elemento. E . Portanto, a afirmação é verdadeira para .

Passo 5

Passo Indutivo:
Hipótese de Indução: Suponha que para um conjunto com elementos, o conjunto das partes tem elementos.
Objetivo: Mostrar que para , o conjunto das partes tem elementos.
Para isso, considere um conjunto com elementos. Vamos escolher um elemento específico, digamos , de . Podemos dividir os subconjuntos de em dois tipos:
  1. Subconjuntos que não contêm . Esses subconjuntos são exatamente os subconjuntos de sem o elemento , ou seja, subconjuntos de um conjunto com elementos.
  2. Subconjuntos que contêm . Cada um desses subconjuntos pode ser formado adicionando a um subconjunto de um conjunto com elementos.
Pelo que já sabemos, há subconjuntos sem e subconjuntos com , totalizando .
Portanto, se a afirmação é verdadeira para , ela também é verdadeira para .
Assim, por indução matemática, a afirmação é verdadeira para todo .

Resposta

a) Os 8 elementos de são:
,
,
,
,
,
,
,
.
b) Usando indução, mostramos que se tem elementos, então tem elementos.

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