Seja
um conjunto, denotemos com
o conjunto onde seus elementos são todos os subconjuntos de
.
(a) Seja
determine os 8 elementos de
.
(b)
Mostre usando indução que, se
tem
elementos então
tem
elementos.
(a) Seja
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas partes aqui:
a) Precisamos encontrar todos os subconjuntos do conjunto .
b) Vamos provar, usando indução matemática, que se um conjunto tem
elementos, então o conjunto das partes
tem
elementos.
a) Precisamos encontrar todos os subconjuntos do conjunto
b) Vamos provar, usando indução matemática, que se um conjunto
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subconjunto e o que é o conjunto das partes. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte (a). O conjunto das partes
é o conjunto de todos os subconjuntos de
. Ou seja, inclui desde o conjunto vazio até o próprio conjunto
.
Como
, que tem 3 elementos, sabemos que o número de subconjuntos é
. Vamos listar todos eles:
- O conjunto vazio:
- Subconjuntos com apenas um elemento:
-
- Subconjuntos com dois elementos:
-
- O próprio conjunto
: -
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b), onde precisamos usar indução matemática para provar que se um conjunto
tem
elementos, então
tem
elementos.
A indução tem dois passos principais:
- Base da Indução: Verificar se a afirmação é verdadeira para
. - Passo Indutivo: Assumir que a afirmação é verdadeira para algum
e, então, mostrar que ela também é verdadeira para .
Passo 4
Base da Indução (
):
Se
tem 0 elementos, então
. O conjunto das partes de
é
, que tem exatamente 1 elemento. E
. Portanto, a afirmação é verdadeira para
.
Passo 5
Passo Indutivo:
Hipótese de Indução: Suponha que para um conjunto
com
elementos, o conjunto das partes
tem
elementos.
Objetivo: Mostrar que para
, o conjunto das partes tem
elementos.
Para isso, considere um conjunto
com
elementos. Vamos escolher um elemento específico, digamos
, de
. Podemos dividir os subconjuntos de
em dois tipos:
- Subconjuntos que não contêm
. Esses subconjuntos são exatamente os subconjuntos de sem o elemento , ou seja, subconjuntos de um conjunto com elementos. - Subconjuntos que contêm
. Cada um desses subconjuntos pode ser formado adicionando a um subconjunto de um conjunto com elementos.
Pelo que já sabemos, há
subconjuntos sem
e
subconjuntos com
, totalizando
.
Portanto, se a afirmação é verdadeira para
, ela também é verdadeira para
.
Assim, por indução matemática, a afirmação é verdadeira para todo
.
Resposta
a) Os 8 elementos de
são:
,
,
,
,
,
,
,
.
b) Usando indução, mostramos que se
tem
elementos, então
tem
elementos.
Exercícios relacionados
Identifique a curva definida pela função vetorial
Sejam
e
dois conjuntos finitos disjuntos de
e
elementos respectivamente, mostre que
tem
elementos.
Suponha que
e
sejam séries com termos positivos e que
sejam divergente.
(b) Se para todo
, o que você pode dizer sobre
? Por quê?
(b) Se
Identifique a curva definida pela função vetorial
;