Suponha que
e
sejam séries com termos positivos e que
sejam divergente.
(b) Se
para todo
, o que você pode dizer sobre
? Por quê?
(b) Se
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas séries,
e
, onde todos os termos são positivos. Sabemos que a série
diverge, ou seja, ela não tem soma finita. A pergunta é: se cada termo
é menor que
para todo
, o que podemos dizer sobre a série
? Para resolver isso, vamos precisar entender o Teste de Comparação para séries.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste de Comparação. Esse teste é usado para determinar se uma série converge ou diverge comparando-a com outra série que já sabemos o comportamento.
-
Se
converge e para todo , então também converge. -
Se
diverge e para todo , então também diverge.
Passo 3
Agora, aplicando isso à nossa questão:
- Sabemos que
diverge. - E temos que
para todo .
No entanto, o teste de comparação que mencionei anteriormente diz que se
e
diverge, então
também diverge. Mas no nosso caso,
é menor que
.
Passo 4
Então, o que isso significa? Significa que o teste de comparação não nos dá informação suficiente para determinar se
converge ou diverge quando
e
diverge. A série
pode tanto convergir quanto divergir independentemente do que sabemos sobre
.
Resposta
Não é possível concluir se a série
converge ou diverge apenas com as informações dadas.
Exercícios relacionados
Seja
um conjunto, denotemos com
o conjunto onde seus elementos são todos os subconjuntos de
.
(a) Seja determine os 8 elementos de
.
(b) Mostre usando indução que, se
tem
elementos então
tem
elementos.
(a) Seja
(b)
Identifique a curva definida pela função vetorial
Identifique a curva definida pela função vetorial
;