Suponha que e sejam séries com termos positivos e que sejam divergente.
(b) Se para todo , o que você pode dizer sobre ? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas séries, e , onde todos os termos são positivos. Sabemos que a série diverge, ou seja, ela não tem soma finita. A pergunta é: se cada termo é menor que para todo , o que podemos dizer sobre a série ? Para resolver isso, vamos precisar entender o Teste de Comparação para séries.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste de Comparação. Esse teste é usado para determinar se uma série converge ou diverge comparando-a com outra série que já sabemos o comportamento.
  • Se converge e para todo , então também converge.
  • Se diverge e para todo , então também diverge.

Passo 3

Agora, aplicando isso à nossa questão:
  • Sabemos que diverge.
  • E temos que para todo .
No entanto, o teste de comparação que mencionei anteriormente diz que se e diverge, então também diverge. Mas no nosso caso, é menor que .

Passo 4

Então, o que isso significa? Significa que o teste de comparação não nos dá informação suficiente para determinar se converge ou diverge quando e diverge. A série pode tanto convergir quanto divergir independentemente do que sabemos sobre .

Resposta

Não é possível concluir se a série converge ou diverge apenas com as informações dadas.

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Seja um conjunto, denotemos com o conjunto onde seus elementos são todos os subconjuntos de .
(a) Seja determine os 8 elementos de .
(b) Mostre usando indução que, se tem elementos então tem elementos.
Identifique a curva definida pela função vetorial
Identifique a curva definida pela função vetorial
;
Mostre que o conjunto não é enumerável.