Suponha que sum an e sum bn sejam séries com termos positivos e que sum bn sejam divergente.
(b) Se an para todo n, o que você pode dizer sobre sum an ? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas séries, sum an e sum bn, onde todos os termos são positivos. Sabemos que a série sum bn diverge, ou seja, ela não tem soma finita. A pergunta é: se cada termo an é menor que bn para todo n, o que podemos dizer sobre a série sum an? Para resolver isso, vamos precisar entender o Teste de Comparação para séries.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste de Comparação. Esse teste é usado para determinar se uma série converge ou diverge comparando-a com outra série que já sabemos o comportamento.
  • Se sum bn converge e 0 <= an <= bn para todo n, então sum an também converge.
  • Se sum bn diverge e an >= bn para todo n, então sum an também diverge.

Passo 3

Agora, aplicando isso à nossa questão:
  • Sabemos que sum bn diverge.
  • E temos que an < bn para todo n.
No entanto, o teste de comparação que mencionei anteriormente diz que se an >= bn e sum bn diverge, então sum an também diverge. Mas no nosso caso, an é menor que bn.

Passo 4

Então, o que isso significa? Significa que o teste de comparação não nos dá informação suficiente para determinar se sum an converge ou diverge quando an < bn e sum bn diverge. A série sum an pode tanto convergir quanto divergir independentemente do que sabemos sobre sum bn.

Resposta

Não é possível concluir se a série sum an converge ou diverge apenas com as informações dadas.

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