Identifique a curva no R^2 representada pelas equações e escreva na forma paramétrica ^3 :
x^2+y^2-2 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa identificar que tipo de curva é representada pela equação no plano e depois escrever essa curva na forma paramétrica. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como completar o quadrado e conhecer as formas paramétricas de curvas comuns.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para identificar melhor a curva. A equação dada é:
x^2 + y^2 - 2y = 0
Vamos completar o quadrado na parte do y^2 - 2y = (y^2 - 2y + 1) - 1 = (y - 1)^2 - 1 :
x^2 + (y - 1)^2 - 1 = 0
Substituindo de volta na equação original:
x^2 + (y - 1)^2 = 1

Passo 3

Agora, a equação ficou no formato:
x^2 + (y - 1)^2 = 1
Essa é a equação de um círculo com centro no ponto e raio . Assim, identificamos que a curva é um círculo.

Passo 4

Para escrever a forma paramétrica de um círculo, usamos ângulos para descrever as posições dos pontos na circunferência. A forma paramétrica geral de um círculo com centro x = h + r cos(theta) y = k + r sin(theta) e raio é:
Onde varia de a .

Passo 5

No nosso caso, o centro x = 0 + 1 cdot cos(theta) y = 1 + 1 cdot sin(theta) é x = cos(theta) y = 1 + sin(theta) e o raio é . Substituindo esses valores na forma paramétrica, temos:
Simplificando:

Resposta

A curva é um círculo de raio 1 com centro em x = cos(theta) y = 1 + sin(theta) . A forma paramétrica dessa curva é:
Onde varia de a .

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