Identifique a curva no representada pelas equações e escreva na forma paramétrica :

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o problema de identificar a curva representada pela equação no plano e escrever essa curva em forma paramétrica. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre cônicas, que incluem elipses, parábolas e hipérboles. Precisaremos entender como identificar cada tipo de curva a partir da equação geral e como transformar essa equação em uma forma paramétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de curva é representada pela equação . Observando os termos da equação, percebemos que temos uma diferença entre e , o que caracteriza uma hipérbole. As hipérboles são curvas que aparecem quando subtraímos um termo quadrático do outro.

Passo 3

Agora que sabemos que a curva é uma hipérbole, vamos lembrar que a equação padrão de uma hipérbole centrada na origem e com eixos alinhados aos eixos coordenados é:
Comparando com a nossa equação , podemos reescrever a equação para se assemelhar à forma padrão dividindo ambos os lados por 4:
Aqui, vemos que e , então e .

Passo 4

Para escrever a forma paramétrica da hipérbole, usamos parâmetros que descrevem o movimento ao longo da curva. Uma forma comum de parametrizar uma hipérbole é utilizando funções hiperbólicas, mas para simplificar, podemos usar um parâmetro que varia ao longo dos valores reais.
As equações paramétricas para a hipérbole são:
Onde e são as funções hiperbólicas cosseno e seno, respectivamente.

Passo 5

Substituindo os valores de e que encontramos ( e ), as equações paramétricas ficam:
Essas equações descrevem todos os pontos da hipérbole conforme o parâmetro varia.

Resposta

A forma paramétrica da curva é:
Onde é um parâmetro real.

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Dado um segmento de reta cujas extremidades estão nas coordenadas e , quais são as coordenadas do seu ponto médio?
a)
b)
c)
d)
e)
A distância entre os pontos e , sabendo que suas coordenadas são e . É ,aproximadamente,:
A 10
B) 15
C) 20
D) 25
E) 30
Identifique a curva no representada pelas equações e escreva na forma paramétrica :
Identifique a curva no representada pelas equações e escreva na forma paramétrica :