Identifique a curva no
representada pelas equações e escreva na forma paramétrica
:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o problema de identificar a curva representada pela equação
no plano
e escrever essa curva em forma paramétrica. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre cônicas, que incluem elipses, parábolas e hipérboles. Precisaremos entender como identificar cada tipo de curva a partir da equação geral e como transformar essa equação em uma forma paramétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de curva é representada pela equação
. Observando os termos da equação, percebemos que temos uma diferença entre
e
, o que caracteriza uma hipérbole. As hipérboles são curvas que aparecem quando subtraímos um termo quadrático do outro.
Passo 3
Agora que sabemos que a curva é uma hipérbole, vamos lembrar que a equação padrão de uma hipérbole centrada na origem e com eixos alinhados aos eixos coordenados é:
Comparando com a nossa equação
, podemos reescrever a equação para se assemelhar à forma padrão dividindo ambos os lados por 4:
Aqui, vemos que
e
, então
e
.
Passo 4
Para escrever a forma paramétrica da hipérbole, usamos parâmetros que descrevem o movimento ao longo da curva. Uma forma comum de parametrizar uma hipérbole é utilizando funções hiperbólicas, mas para simplificar, podemos usar um parâmetro
que varia ao longo dos valores reais.
As equações paramétricas para a hipérbole
são:
Onde
e
são as funções hiperbólicas cosseno e seno, respectivamente.
Passo 5
Substituindo os valores de
e
que encontramos (
e
), as equações paramétricas ficam:
Essas equações descrevem todos os pontos da hipérbole
conforme o parâmetro
varia.
Resposta
A forma paramétrica da curva
é:
Onde
é um parâmetro real.
Exercícios relacionados
Dado um segmento de reta
cujas extremidades estão nas coordenadas
e
, quais são as coordenadas do seu ponto médio?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
A distância entre os pontos
e
, sabendo que suas coordenadas são
e
. É ,aproximadamente,:
A 10
B) 15
C) 20
D) 25
E) 30
A 10
B) 15
C) 20
D) 25
E) 30
Identifique a curva no
representada pelas equações e escreva na forma paramétrica
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Identifique a curva no
representada pelas equações e escreva na forma paramétrica
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