Identifique a curva no R^2 representada pelas equações e escreva na forma paramétrica ^3 :
x^2-y^2=4

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o problema de identificar a curva representada pela equação no plano e escrever essa curva em forma paramétrica. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre cônicas, que incluem elipses, parábolas e hipérboles. Precisaremos entender como identificar cada tipo de curva a partir da equação geral e como transformar essa equação em uma forma paramétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de curva é representada pela equação . Observando os termos da equação, percebemos que temos uma diferença entre e , o que caracteriza uma hipérbole. As hipérboles são curvas que aparecem quando subtraímos um termo quadrático do outro.

Passo 3

Agora que sabemos que a curva é uma hipérbole, vamos lembrar que a equação padrão de uma hipérbole centrada na origem e com eixos alinhados aos eixos coordenados é:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
Comparando com a nossa equação x^24 - y^24 = 1 , podemos reescrever a equação para se assemelhar à forma padrão dividindo ambos os lados por 4:
Aqui, vemos que e , então e .

Passo 4

Para escrever a forma paramétrica da hipérbole, usamos parâmetros que descrevem o movimento ao longo da curva. Uma forma comum de parametrizar uma hipérbole é utilizando funções hiperbólicas, mas para simplificar, podemos usar um parâmetro x = a cosh(t) que varia ao longo dos valores reais.
As equações paramétricas para a hipérbole y = b sinh(t) são:
Onde e são as funções hiperbólicas cosseno e seno, respectivamente.

Passo 5

Substituindo os valores de x = 2 cosh(t) e y = 2 sinh(t) que encontramos ( e ), as equações paramétricas ficam:
Essas equações descrevem todos os pontos da hipérbole conforme o parâmetro varia.

Resposta

A forma paramétrica da curva x = 2 cosh(t) y = 2 sinh(t) é:
Onde é um parâmetro real.

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