Identifique as curvas de nível e esboçe as curvas correspondentes aos seguintes valores de c dados
(a)
(b)
© .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar as curvas de nível da função e desenhar essas curvas para diferentes valores de . As curvas de nível são linhas no plano onde a função assume um valor constante .
Vamos começar com a letra (a):
Para resolver isso, vamos seguir alguns passos:

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Uma curva de nível para uma função de duas variáveis é o conjunto de pontos onde a função tem um valor constante . Ou seja, para cada valor de , temos uma equação que define uma curva no plano.
No nosso caso, temos a função . Queremos encontrar as curvas onde para os valores de .

Passo 3

Vamos começar resolvendo a equação para cada valor de :
  1. Para :
    Podemos reescrever isso como:
  2. Para :
    Reescrevendo:
  3. Para :
    Reescrevendo:

Passo 4

Agora, vamos interpretar essas equações. Todas elas são linhas retas no plano . A forma geral de uma linha reta é , onde é o coeficiente angular (inclinação) e é o intercepto com o eixo .
  • Para :
    • Inclinação
    • Intercepto
  • Para :
    • Inclinação
    • Intercepto
  • Para :
    • Inclinação
    • Intercepto
Todas as linhas têm a mesma inclinação, ou seja, são paralelas entre si.

Passo 5

Vamos agora esboçar essas curvas no plano :
  1. Linha para :
    • Passa pelo ponto (0, 2)
  2. Linha para :
    • Passa pela origem (0, 0)
  3. Linha para :
    • Passa pelo ponto (0, -2)
Curvas de nível (Substitua pelo link de uma imagem que mostre três linhas paralelas com as interseções mencionadas)

Resposta

As curvas de nível para a função são três linhas retas paralelas, dadas por:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Essas linhas são paralelas entre si e se deslocam verticalmente de acordo com o valor de .

Exercícios relacionados

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ - UFPI
Campus Universitário Ministro Petrônio Portella
Departamento de Matemática
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III DMAT/CCN013
Prof. Ailton Campos
Data: 02/10/2024
Período: 2024.2
Nome:

1 Lista de Exercícios

  1. Classifique e esboce a curva dada pela equação:
  1. Determine a equação da parábola cujo vértice está na origem e o foco no ponto .
  2. Encontre a equação da elipse com centro na origem, focos em e vértices em .
  3. Dada a equação da hipérbole:
Esboce o gráfico, identificando os vértices e assíntotas.
5. Encontre a equação reduzida da elipse que tem os focos em e o eixo maior de comprimento 10 .
6. Classifique a superfície quádrica dada pela equação:
Qual é o tipo de superfície? Esboce seu gráfico.
7. Determine e classifique a superfície dada pela equação:
  1. Identifique a superfície quádrupla representada pela equação:
Esboce o gráfico da superfície e descreva suas características geométricas.
9. Determine o tipo de superfície descrita pela equação:
Esboce o gráfico.
10. A superfície é dada por:
Qual é o tipo de superfície? Esboce o gráfico.
11. Dada a função , encontre e esboce as curvas de nível correspondentes a .
12. Considere a função . Encontre as curvas de nível para os valores . Esboce as curvas no plano xy.
13. Dada a função , encontre as curvas de nível para . Esboce essas curvas.
14. Determine e esboce as superfícies de nível da função para os valores .
15. Encontre as superfícies de nível da função . Para , identifique e esboce as superfícies de nível.
16. Encontre a equação vetorial da curva paramétrica dada por:
Esboce a curva.
17. Determine as equações paramétricas para a elipse com semi-eixo maior 5 ao longo do eixo e semi-eixo menor 3 ao longo do eixo .
18. Dada a curva paramétrica:
Determine os pontos em que a curva tem tangente horizontal e vertical.
19. Encontre as equações paramétricas para a hélice com raio 2 e altura 5 por revolução.
20. Parametrize a curva de interseção entre o cilindro e o plano .
21. Identifique as curvas de nível e esboçe as curvas correspondentes aos seguintes valores de c dados
(a)
(b)
© .
22. Identifique as superfícies de nível para e de
(a)
(b)
23. A função
onde k e r são constantes positivas, fornece o potêncial elétrico (em volts) no ponto ( ) no plano xy. Descreva as curvas de nível de V e esboçe o conjunto que as representam. As curvas de nível de V são chamadas curvas equipotênciais; todos os pontos sobre uma curva equipotencial têm o mesmo potêncial elétrico.

Bom Trabalho!!!

Um piloto guia set avião mantendo sempre constante a diferença entre suas distâncias à duas estaçôes transmissoras. Sua trajetória é um ramo da hipérbole de equaçāo . Qual a distancia entre as estaçöes (em Km )?
Identifique as superfícies de nível para e de
(a)
(b)
Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:
a) e