Identifique as curvas de nível
e esboçe as curvas correspondentes aos seguintes valores de c dados
(a)
(b)
©
.
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar as curvas de nível da função
e desenhar essas curvas para diferentes valores de
. As curvas de nível são linhas no plano
onde a função assume um valor constante
.
Vamos começar com a letra (a):
Para resolver isso, vamos seguir alguns passos:
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Uma curva de nível para uma função de duas variáveis é o conjunto de pontos
onde a função tem um valor constante
. Ou seja, para cada valor de
, temos uma equação que define uma curva no plano.
No nosso caso, temos a função
. Queremos encontrar as curvas onde
para os valores de
.
Passo 3
Vamos começar resolvendo a equação
para cada valor de
:
-
Para
: Podemos reescrever isso como: -
Para
: Reescrevendo: -
Para
: Reescrevendo:
Passo 4
Agora, vamos interpretar essas equações. Todas elas são linhas retas no plano
. A forma geral de uma linha reta é
, onde
é o coeficiente angular (inclinação) e
é o intercepto com o eixo
.
-
Para
: - Inclinação
- Intercepto
- Inclinação
-
Para
: - Inclinação
- Intercepto
- Inclinação
-
Para
: - Inclinação
- Intercepto
- Inclinação
Todas as linhas têm a mesma inclinação, ou seja, são paralelas entre si.
Passo 5
Vamos agora esboçar essas curvas no plano
:
-
Linha para
: - Passa pelo ponto (0, 2)
-
Linha para
: - Passa pela origem (0, 0)
-
Linha para
: - Passa pelo ponto (0, -2)
![Curvas de nível](https://i.imgur.com/yourImageLink.png)
Resposta
As curvas de nível para a função
são três linhas retas paralelas, dadas por:
- Para
: - Para
: - Para
:
Essas linhas são paralelas entre si e se deslocam verticalmente de acordo com o valor de
.
Exercícios relacionados
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ - UFPI
Campus Universitário Ministro Petrônio Portella
Departamento de Matemática
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III DMAT/CCN013
Prof. Ailton Campos
Data: 02/10/2024
Período: 2024.2
Nome:
Campus Universitário Ministro Petrônio Portella
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III DMAT/CCN013
Prof. Ailton Campos
Data: 02/10/2024
Período: 2024.2
Nome:
1 Lista de Exercícios
- Classifique e esboce a curva dada pela equação:
- Determine a equação da parábola cujo vértice está na origem e o foco no ponto
. - Encontre a equação da elipse com centro na origem, focos em
e vértices em . - Dada a equação da hipérbole:
Esboce o gráfico, identificando os vértices e assíntotas.
5. Encontre a equação reduzida da elipse que tem os focos em e o eixo maior de comprimento 10 .
6. Classifique a superfície quádrica dada pela equação:
5. Encontre a equação reduzida da elipse que tem os focos em
6. Classifique a superfície quádrica dada pela equação:
Qual é o tipo de superfície? Esboce seu gráfico.
7. Determine e classifique a superfície dada pela equação:
7. Determine e classifique a superfície dada pela equação:
- Identifique a superfície quádrupla representada pela equação:
Esboce o gráfico da superfície e descreva suas características geométricas.
9. Determine o tipo de superfície descrita pela equação:
9. Determine o tipo de superfície descrita pela equação:
Esboce o gráfico.
10. A superfície é dada por:
10. A superfície é dada por:
Qual é o tipo de superfície? Esboce o gráfico.
11. Dada a função , encontre e esboce as curvas de nível correspondentes a
.
12. Considere a função . Encontre as curvas de nível para os valores
. Esboce as curvas no plano xy.
13. Dada a função , encontre as curvas de nível para
. Esboce essas curvas.
14. Determine e esboce as superfícies de nível da função para os valores
.
15. Encontre as superfícies de nível da função . Para
, identifique e esboce as superfícies de nível.
16. Encontre a equação vetorial da curva paramétrica dada por:
11. Dada a função
12. Considere a função
13. Dada a função
14. Determine e esboce as superfícies de nível da função
15. Encontre as superfícies de nível da função
16. Encontre a equação vetorial da curva paramétrica dada por:
Esboce a curva.
17. Determine as equações paramétricas para a elipse com semi-eixo maior 5 ao longo do eixo e semi-eixo menor 3 ao longo do eixo
.
18. Dada a curva paramétrica:
17. Determine as equações paramétricas para a elipse com semi-eixo maior 5 ao longo do eixo
18. Dada a curva paramétrica:
Determine os pontos em que a curva tem tangente horizontal e vertical.
19. Encontre as equações paramétricas para a hélice com raio 2 e altura 5 por revolução.
20. Parametrize a curva de interseção entre o cilindro e o plano
.
21. Identifique as curvas de nível e esboçe as curvas correspondentes aos seguintes valores de c dados
(a)
(b)
© .
22. Identifique as superfícies de nível para
e
de
(a)
(b)
23. A função
19. Encontre as equações paramétricas para a hélice com raio 2 e altura 5 por revolução.
20. Parametrize a curva de interseção entre o cilindro
21. Identifique as curvas de nível
(a)
(b)
©
22. Identifique as superfícies de nível
(a)
(b)
23. A função
onde k e r são constantes positivas, fornece o potêncial elétrico (em volts) no ponto (
) no plano xy. Descreva as curvas de nível de V e esboçe o conjunto que as representam. As curvas de nível de V são chamadas curvas equipotênciais; todos os pontos sobre uma curva equipotencial têm o mesmo potêncial elétrico.
Bom Trabalho!!!
Um piloto guia set avião mantendo sempre constante a diferença entre suas distâncias à duas estaçôes transmissoras. Sua trajetória é um ramo da hipérbole de equaçāo
. Qual a distancia entre as estaçöes (em Km )?
Identifique as superfícies de nível
para
e
de
(a)
(b)
(a)
(b)
Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:
a) e
a)