Identifique as curvas de nível
e esboçe as curvas correspondentes aos seguintes valores de c dados
(a)
(b)
©
.
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar as curvas de nível da função
e desenhar essas curvas para diferentes valores de
. As curvas de nível são linhas no plano
onde a função assume um valor constante
.
Vamos começar com a letra (a):
Para resolver isso, vamos seguir alguns passos:
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Uma curva de nível para uma função de duas variáveis é o conjunto de pontos
onde a função tem um valor constante
. Ou seja, para cada valor de
, temos uma equação que define uma curva no plano.
No nosso caso, temos a função
. Queremos encontrar as curvas onde
para os valores de
.
Passo 3
Vamos começar resolvendo a equação
para cada valor de
:
-
Para
: Podemos reescrever isso como: -
Para
: Reescrevendo: -
Para
: Reescrevendo:
Passo 4
Agora, vamos interpretar essas equações. Todas elas são linhas retas no plano
. A forma geral de uma linha reta é
, onde
é o coeficiente angular (inclinação) e
é o intercepto com o eixo
.
-
Para
: - Inclinação
- Intercepto
- Inclinação
-
Para
: - Inclinação
- Intercepto
- Inclinação
-
Para
: - Inclinação
- Intercepto
- Inclinação
Todas as linhas têm a mesma inclinação, ou seja, são paralelas entre si.
Passo 5
Vamos agora esboçar essas curvas no plano
:
-
Linha para
: - Passa pelo ponto (0, 2)
-
Linha para
: - Passa pela origem (0, 0)
-
Linha para
: - Passa pelo ponto (0, -2)

Resposta
As curvas de nível para a função
são três linhas retas paralelas, dadas por:
- Para
: - Para
: - Para
:
Essas linhas são paralelas entre si e se deslocam verticalmente de acordo com o valor de
.