Identifique as curvas de nível f(x, y)=c e esboçe as curvas correspondentes aos seguintes valores de c dados
(a) f(x, y)=x-y, c=-2,0,2
(b) f(x, y)=1x-y^2, c=-2,-1,1,2
© f(x, y)=x^2-y^2, c=-2,-1,0,1,2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar as curvas de nível da função f(x, y) = x - y e desenhar essas curvas para diferentes valores de c = -2, , 0, , 2 . As curvas de nível são linhas no plano onde a função assume um valor constante .
Vamos começar com a letra (a):
Para resolver isso, vamos seguir alguns passos:

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Uma curva de nível para uma função de duas variáveis é o conjunto de pontos onde a função tem um valor constante . Ou seja, para cada valor de , temos uma equação que define uma curva no plano.
No nosso caso, temos a função . Queremos encontrar as curvas onde para os valores de .

Passo 3

Vamos começar resolvendo a equação x - y = -2 para cada valor de y = x + 2 :
  1. Para x - y = 0 :
    y = x
    Podemos reescrever isso como:
    x - y = 2
  2. Para y = x - 2 :
    Reescrevendo:
  3. Para :
    Reescrevendo:

Passo 4

Agora, vamos interpretar essas equações. Todas elas são linhas retas no plano . A forma geral de uma linha reta é , onde é o coeficiente angular (inclinação) e é o intercepto com o eixo .
  • Para :
    • Inclinação
    • Intercepto
  • Para :
    • Inclinação
    • Intercepto
  • Para :
    • Inclinação
    • Intercepto
Todas as linhas têm a mesma inclinação, ou seja, são paralelas entre si.

Passo 5

Vamos agora esboçar essas curvas no plano :
  1. Linha para :
    • Passa pelo ponto (0, 2)
  2. Linha para :
    • Passa pela origem (0, 0)
  3. Linha para :
    • Passa pelo ponto (0, -2)
Curvas de nível (Substitua pelo link de uma imagem que mostre três linhas paralelas com as interseções mencionadas)

Resposta

As curvas de nível para a função são três linhas retas paralelas, dadas por:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Essas linhas são paralelas entre si e se deslocam verticalmente de acordo com o valor de .

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