UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ - UFPI
Campus Universitário Ministro Petrônio Portella
Departamento de Matemática
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III DMAT/CCN013
Prof. Ailton Campos
Data: 02/10/2024
Período: 2024.2
Nome:

1 Lista de Exercícios

  1. Classifique e esboce a curva dada pela equação:
9 x^2-16 y^2=144
  1. Determine a equação da parábola cujo vértice está na origem e o foco no ponto (0,2).
  2. Encontre a equação da elipse com centro na origem, focos em ( pm 3,0) e vértices em ( pm 5,0).
  3. Dada a equação da hipérbole:
x^29-y^216=1
Esboce o gráfico, identificando os vértices e assíntotas.
5. Encontre a equação reduzida da elipse que tem os focos em (0, pm 3) e o eixo maior de comprimento 10 .
6. Classifique a superfície quádrica dada pela equação:
z=x^2+4 y^2
Qual é o tipo de superfície? Esboce seu gráfico.
7. Determine e classifique a superfície dada pela equação:
x^24+y^29-z^216=1
  1. Identifique a superfície quádrupla representada pela equação:
z^2=4 x^2+4 y^2
Esboce o gráfico da superfície e descreva suas características geométricas.
9. Determine o tipo de superfície descrita pela equação:
x^29+y^216+z^225=1
Esboce o gráfico.
10. A superfície é dada por:
x^2+y^2-z^2=1
Qual é o tipo de superfície? Esboce o gráfico.
11. Dada a função f(x, y)=x^2+y^2, encontre e esboce as curvas de nível correspondentes a c=1,4,9.
12. Considere a função f(x, y)=x^2-y^2. Encontre as curvas de nível para os valores c=-1,0,1. Esboce as curvas no plano xy.
13. Dada a função f(x, y)=sin (x)+cos (y), encontre as curvas de nível para c=0,1,-1. Esboce essas curvas.
14. Determine e esboce as superfícies de nível da função f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2 para os valores c=1,4,9.
15. Encontre as superfícies de nível da função f(x, y, z)=z-x^2-y^2. Para c=0,1,2, identifique e esboce as superfícies de nível.
16. Encontre a equação vetorial da curva paramétrica dada por:
x(t)=3 cos (t), y(t)=2 sin (t), t in[0,2 pi]
Esboce a curva.
17. Determine as equações paramétricas para a elipse com semi-eixo maior 5 ao longo do eixo x e semi-eixo menor 3 ao longo do eixo y.
18. Dada a curva paramétrica:
x(t)=t^2, y(t)=t^3-t, t in R
Determine os pontos em que a curva tem tangente horizontal e vertical.
19. Encontre as equações paramétricas para a hélice com raio 2 e altura 5 por revolução.
20. Parametrize a curva de interseção entre o cilindro x^2+y^2=4 e o plano z=y.
21. Identifique as curvas de nível f(x, y)=c e esboçe as curvas correspondentes aos seguintes valores de c dados
(a) f(x, y)=x-y, c=-2,0,2
(b) f(x, y)=1x-y^2, c=-2,-1,1,2
© f(x, y)=x^2-y^2, c=-2,-1,0,1,2.
22. Identifique as superfícies de nível f(x, y, z)=c para c>0, c<0 e c=0 de
(a) f(x, y, z)=x^2+y^2-z^2
(b) f(x, y, z)=9 x^2-4 y^2+36 z^2
23. A função
V(x, y)=kraizr^2-x^2-y^2
onde k e r são constantes positivas, fornece o potêncial elétrico (em volts) no ponto ( x, y ) no plano xy. Descreva as curvas de nível de V e esboçe o conjunto que as representam. As curvas de nível de V são chamadas curvas equipotênciais; todos os pontos sobre uma curva equipotencial têm o mesmo potêncial elétrico.

Bom Trabalho!!!

Passo 1

Beleza, vamos resolver o primeiro exercício juntos! A questão pede para classificar e esboçar a curva dada pela equação:
9x^2 - 16y^2 = 144
Vamos precisar entender sobre superfícies cônicas, especificamente hipérboles, e saber como identificar e desenhar essas curvas a partir da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para deixá-la na forma padrão de uma hipérbole. Dividimos todos os termos por 144:
9x^2144 - 16y^2144 = 1 x^216 - y^29 = 1
Agora, temos:
x^216 - y^29 = 1

Passo 3

Essa forma da equação é a forma padrão de uma hipérbole com o eixo principal ao longo do eixo x. A forma geral é:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
Onde:
  • é a distância do centro aos vértices ao longo do eixo x.
  • está relacionado às assimptotas da hipérbole.

Passo 4

Vamos identificar os valores de a^2 = 16 Rightarrow a = 4 b^2 = 9 Rightarrow b = 3 e na nossa equação:

Passo 5

Com esses valores, sabemos que os vértices da hipérbole estão a ( pm 4, 0 ) unidades do centro ao longo do eixo x. Como a equação não tem termos de deslocamento, o centro está na origem (0,0). Então, os vértices são:

Passo 6

As assimptotas são as linhas que a hipérbole se aproxima conforme se estende ao infinito. A equação das assimptotas para essa hipérbole é:
y = pm bax = pm 34x

Passo 7

Agora, vamos esboçar a hipérbole:
  1. Desenhe um sistema de eixos coordenados.
  2. Marque o centro na origem (0,0).
  3. Marque os vértices nos pontos (4,0) e (-4,0).
  4. Desenhe as assimptotas como linhas retas passando pela origem com inclinações de .
  5. Desenhe as duas partes da hipérbole abrindo para a direita e para a esquerda, aproximando-se das assimptotas.

Resposta

A curva é uma hipérbole com centro na origem, vértices em e , e assimptotas dadas por . O esboço apresenta duas ramas abertas horizontalmente, se aproximando das linhas das assimptotas.

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