UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ - UFPI
Campus Universitário Ministro Petrônio Portella
Departamento de Matemática
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III DMAT/CCN013
Prof. Ailton Campos
Data: 02/10/2024
Período: 2024.2
Nome:
1 Lista de Exercícios
- Classifique e esboce a curva dada pela equação:
- Determine a equação da parábola cujo vértice está na origem e o foco no ponto
.
- Encontre a equação da elipse com centro na origem, focos em
e vértices em
.
- Dada a equação da hipérbole:
Esboce o gráfico, identificando os vértices e assíntotas.
5. Encontre a equação reduzida da elipse que tem os focos em
e o eixo maior de comprimento 10 .
6. Classifique a superfície quádrica dada pela equação:
Qual é o tipo de superfície? Esboce seu gráfico.
7. Determine e classifique a superfície dada pela equação:
- Identifique a superfície quádrupla representada pela equação:
Esboce o gráfico da superfície e descreva suas características geométricas.
9. Determine o tipo de superfície descrita pela equação:
Esboce o gráfico.
10. A superfície é dada por:
Qual é o tipo de superfície? Esboce o gráfico.
11. Dada a função
, encontre e esboce as curvas de nível correspondentes a
.
12. Considere a função
. Encontre as curvas de nível para os valores
. Esboce as curvas no plano xy.
13. Dada a função
, encontre as curvas de nível para
. Esboce essas curvas.
14. Determine e esboce as superfícies de nível da função
para os valores
.
15. Encontre as superfícies de nível da função
. Para
, identifique e esboce as superfícies de nível.
16. Encontre a equação vetorial da curva paramétrica dada por:
Esboce a curva.
17. Determine as equações paramétricas para a elipse com semi-eixo maior 5 ao longo do eixo
e semi-eixo menor 3 ao longo do eixo
.
18. Dada a curva paramétrica:
Determine os pontos em que a curva tem tangente horizontal e vertical.
19. Encontre as equações paramétricas para a hélice com raio 2 e altura 5 por revolução.
20. Parametrize a curva de interseção entre o cilindro
e o plano
.
21. Identifique as curvas de nível
e esboçe as curvas correspondentes aos seguintes valores de c dados
(a)
(b)
©
.
22. Identifique as superfícies de nível
para
e
de
(a)
(b)
23. A função
onde k e r são constantes positivas, fornece o potêncial elétrico (em volts) no ponto (
) no plano xy. Descreva as curvas de nível de V e esboçe o conjunto que as representam. As curvas de nível de V são chamadas curvas equipotênciais; todos os pontos sobre uma curva equipotencial têm o mesmo potêncial elétrico.
Bom Trabalho!!!
Campus Universitário Ministro Petrônio Portella
Departamento de Matemática
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III DMAT/CCN013
Prof. Ailton Campos
Data: 02/10/2024
Período: 2024.2
Nome:
5. Encontre a equação reduzida da elipse que tem os focos em
6. Classifique a superfície quádrica dada pela equação:
7. Determine e classifique a superfície dada pela equação:
9. Determine o tipo de superfície descrita pela equação:
10. A superfície é dada por:
11. Dada a função
12. Considere a função
13. Dada a função
14. Determine e esboce as superfícies de nível da função
15. Encontre as superfícies de nível da função
16. Encontre a equação vetorial da curva paramétrica dada por:
17. Determine as equações paramétricas para a elipse com semi-eixo maior 5 ao longo do eixo
18. Dada a curva paramétrica:
19. Encontre as equações paramétricas para a hélice com raio 2 e altura 5 por revolução.
20. Parametrize a curva de interseção entre o cilindro
21. Identifique as curvas de nível
(a)
(b)
©
22. Identifique as superfícies de nível
(a)
(b)
23. A função
Passo 1
Beleza, vamos resolver o primeiro exercício juntos! A questão pede para classificar e esboçar a curva dada pela equação:
Vamos precisar entender sobre superfícies cônicas, especificamente hipérboles, e saber como identificar e desenhar essas curvas a partir da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para deixá-la na forma padrão de uma hipérbole. Dividimos todos os termos por 144:
Agora, temos:
Passo 3
Essa forma da equação é a forma padrão de uma hipérbole com o eixo principal ao longo do eixo x. A forma geral é:
Onde:
-
é a distância do centro aos vértices ao longo do eixo x. -
está relacionado às assimptotas da hipérbole.
Passo 4
Vamos identificar os valores de
e
na nossa equação:
Passo 5
Com esses valores, sabemos que os vértices da hipérbole estão a
unidades do centro ao longo do eixo x. Como a equação não tem termos de deslocamento, o centro está na origem (0,0). Então, os vértices são:
Passo 6
As assimptotas são as linhas que a hipérbole se aproxima conforme se estende ao infinito. A equação das assimptotas para essa hipérbole é:
Passo 7
Agora, vamos esboçar a hipérbole:
- Desenhe um sistema de eixos coordenados.
- Marque o centro na origem (0,0).
- Marque os vértices nos pontos (4,0) e (-4,0).
- Desenhe as assimptotas como linhas retas passando pela origem com inclinações de
. - Desenhe as duas partes da hipérbole abrindo para a direita e para a esquerda, aproximando-se das assimptotas.
Resposta
A curva
é uma hipérbole com centro na origem, vértices em
e
, e assimptotas dadas por
. O esboço apresenta duas ramas abertas horizontalmente, se aproximando das linhas das assimptotas.
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, concavidade voltada para cima, passando pelo ponto
Identifique as curvas de nível
e esboçe as curvas correspondentes aos seguintes valores de c dados
(a)
(b)
© .
(a)
(b)
©
Identifique as superfícies de nível
para
e
de
(a)
(b)
(a)
(b)