Um piloto guia set avião mantendo sempre constante a diferença entre suas distâncias à duas estaçôes transmissoras. Sua trajetória é um ramo da hipérbole de equaçāo d^210.000-y^25.625=1. Qual a distancia entre as estaçöes (em Km )?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um piloto que está voando de forma que a diferença das suas distâncias para duas estações transmissoras permanece constante. Essa trajetória é representada por uma hipérbole com a equação . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a distância entre essas duas estações.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma hipérbole. Uma hipérbole é o conjunto de pontos onde a diferença das distâncias para dois pontos fixos, chamados de focos, é constante. A equação geral de uma hipérbole com eixo horizontal é , onde é o centro da hipérbole, é a distância do centro até cada vértice, e está relacionado à abertura da hipérbole.
No nosso caso, a equação é . Comparando com a forma geral, vemos que o centro está na origem , e .

Passo 3

Para encontrar a distância entre os focos da hipérbole, usamos a fórmula , onde é a distância do centro até cada foco. A distância total entre os dois focos será .
Vamos calcular:
  1. Primeiro, encontramos e :
    • (aproximadamente)
  2. Agora, calculamos :
  3. Finalmente, a distância entre os focos é:
    • km

Resposta

A distância entre as estações é aproximadamente 200 km.

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