Um piloto guia set avião mantendo sempre constante a diferença entre suas distâncias à duas estaçôes transmissoras. Sua trajetória é um ramo da hipérbole de equaçāo . Qual a distancia entre as estaçöes (em Km )?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um piloto que está voando de forma que a diferença das suas distâncias para duas estações transmissoras permanece constante. Essa trajetória é representada por uma hipérbole com a equação . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a distância entre essas duas estações.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma hipérbole. Uma hipérbole é o conjunto de pontos onde a diferença das distâncias para dois pontos fixos, chamados de focos, é constante. A equação geral de uma hipérbole com eixo horizontal é , onde é o centro da hipérbole, é a distância do centro até cada vértice, e está relacionado à abertura da hipérbole.
No nosso caso, a equação é . Comparando com a forma geral, vemos que o centro está na origem , e .

Passo 3

Para encontrar a distância entre os focos da hipérbole, usamos a fórmula , onde é a distância do centro até cada foco. A distância total entre os dois focos será .
Vamos calcular:
  1. Primeiro, encontramos e :
    • (aproximadamente)
  2. Agora, calculamos :
  3. Finalmente, a distância entre os focos é:
    • km

Resposta

A distância entre as estações é aproximadamente 200 km.

Exercícios relacionados

Traçar um esboço do gráfico e obter uma equaçâo cònica que satisfaça as condiçóes dadas. © Parábola: vértice , concavidade voltada para cima, passando pelo ponto
Traçar um esboço do gráfico e obter uma equaçâo cònica que satisfaça as condiçóes dadas. (d) Elipse: focos e eixo menor igual a 10
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ - UFPI
Campus Universitário Ministro Petrônio Portella
Departamento de Matemática
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III DMAT/CCN013
Prof. Ailton Campos
Data: 02/10/2024
Período: 2024.2
Nome:

1 Lista de Exercícios

  1. Classifique e esboce a curva dada pela equação:
  1. Determine a equação da parábola cujo vértice está na origem e o foco no ponto .
  2. Encontre a equação da elipse com centro na origem, focos em e vértices em .
  3. Dada a equação da hipérbole:
Esboce o gráfico, identificando os vértices e assíntotas.
5. Encontre a equação reduzida da elipse que tem os focos em e o eixo maior de comprimento 10 .
6. Classifique a superfície quádrica dada pela equação:
Qual é o tipo de superfície? Esboce seu gráfico.
7. Determine e classifique a superfície dada pela equação:
  1. Identifique a superfície quádrupla representada pela equação:
Esboce o gráfico da superfície e descreva suas características geométricas.
9. Determine o tipo de superfície descrita pela equação:
Esboce o gráfico.
10. A superfície é dada por:
Qual é o tipo de superfície? Esboce o gráfico.
11. Dada a função , encontre e esboce as curvas de nível correspondentes a .
12. Considere a função . Encontre as curvas de nível para os valores . Esboce as curvas no plano xy.
13. Dada a função , encontre as curvas de nível para . Esboce essas curvas.
14. Determine e esboce as superfícies de nível da função para os valores .
15. Encontre as superfícies de nível da função . Para , identifique e esboce as superfícies de nível.
16. Encontre a equação vetorial da curva paramétrica dada por:
Esboce a curva.
17. Determine as equações paramétricas para a elipse com semi-eixo maior 5 ao longo do eixo e semi-eixo menor 3 ao longo do eixo .
18. Dada a curva paramétrica:
Determine os pontos em que a curva tem tangente horizontal e vertical.
19. Encontre as equações paramétricas para a hélice com raio 2 e altura 5 por revolução.
20. Parametrize a curva de interseção entre o cilindro e o plano .
21. Identifique as curvas de nível e esboçe as curvas correspondentes aos seguintes valores de c dados
(a)
(b)
© .
22. Identifique as superfícies de nível para e de
(a)
(b)
23. A função
onde k e r são constantes positivas, fornece o potêncial elétrico (em volts) no ponto ( ) no plano xy. Descreva as curvas de nível de V e esboçe o conjunto que as representam. As curvas de nível de V são chamadas curvas equipotênciais; todos os pontos sobre uma curva equipotencial têm o mesmo potêncial elétrico.

Bom Trabalho!!!

Identifique as curvas de nível e esboçe as curvas correspondentes aos seguintes valores de c dados
(a)
(b)
© .