Identifique e descreva a superfície do R^3 dada pela equação a seguir. Faça um esboço da superfície.
x = z^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para identificar e descrever uma superfície no espaço tridimensional, ou seja, no R^3, que é definida pela equação . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço e entender como essa equação representa uma superfície. Precisamos visualizar como os valores de x, y e z se relacionam nessa equação para desenhar um esboço da superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação . Aqui, x é igual ao quadrado de z. Isso significa que, para cada valor de z, o valor correspondente de x é sempre positivo ou zero, já que o quadrado de qualquer número real não pode ser negativo.

Passo 3

Para entender melhor, vamos pensar em cortar esse espaço com diferentes planos. Por exemplo, se fixarmos um valor de y, podemos ver como x e z se comportam. A equação , para um valor fixo de y, representa uma parábola que abre para o lado positivo do eixo x.

Passo 4

Agora, como a variável y não está presente na equação , isso significa que essa relação é válida para qualquer valor de y. Ou seja, para cada valor de y, temos uma parábola semelhante à que descrevemos no passo anterior. Isso faz com que a superfície seja um paraboloide de uma folha estendido ao longo do eixo y.

Passo 5

Para visualizar melhor, imagine que você tem uma parábola no plano x- z e, ao mover essa parábola ao longo do eixo y, sem alterar sua forma. Assim, você cria uma superfície que se estende indefinidamente em ambas as direções positivas e negativas de y, mantendo a forma da parábola em cada “fatia” fixa de y.

Resposta

A superfície definida pela equação em R^3 é um paraboloide de uma folha que se estende ao longo do eixo y. Ela consiste em todas as parábolas para cada valor de y, formando uma superfície curva que se abre para o lado positivo de x. O esboço dessa superfície seria uma parábola no plano x- z e, estendendo essa forma ao longo do eixo y, cria-se o paraboloide de uma folha.

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