Identifique e descreva a superfície do
dada pela equação a seguir. Faça um esboço da superfície.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para identificar e descrever uma superfície no espaço tridimensional, ou seja, no
, que é definida pela equação
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço e entender como essa equação representa uma superfície. Precisamos visualizar como os valores de
,
e
se relacionam nessa equação para desenhar um esboço da superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação
. Aqui,
é igual ao quadrado de
. Isso significa que, para cada valor de
, o valor correspondente de
é sempre positivo ou zero, já que o quadrado de qualquer número real não pode ser negativo.
Passo 3
Para entender melhor, vamos pensar em cortar esse espaço com diferentes planos. Por exemplo, se fixarmos um valor de
, podemos ver como
e
se comportam. A equação
, para um valor fixo de
, representa uma parábola que abre para o lado positivo do eixo
.
Passo 4
Agora, como a variável
não está presente na equação
, isso significa que essa relação é válida para qualquer valor de
. Ou seja, para cada valor de
, temos uma parábola semelhante à que descrevemos no passo anterior. Isso faz com que a superfície seja um paraboloide de uma folha estendido ao longo do eixo
.
Passo 5
Para visualizar melhor, imagine que você tem uma parábola no plano
-
e, ao mover essa parábola ao longo do eixo
, sem alterar sua forma. Assim, você cria uma superfície que se estende indefinidamente em ambas as direções positivas e negativas de
, mantendo a forma da parábola em cada “fatia” fixa de
.
Resposta
A superfície definida pela equação
em
é um paraboloide de uma folha que se estende ao longo do eixo
. Ela consiste em todas as parábolas
para cada valor de
, formando uma superfície curva que se abre para o lado positivo de
. O esboço dessa superfície seria uma parábola no plano
-
e, estendendo essa forma ao longo do eixo
, cria-se o paraboloide de uma folha.