(1,0 ponto) Suponha
positiva e crescente. Considere
e
. Mostre que
Passo 1
Resumo do Enunciado:
Temos uma função que é positiva e crescente, ou seja, conforme
aumenta de
para
,
também aumenta. Sabemos que
e
. Precisamos mostrar que:
Temos uma função
Conteúdo da Matéria:
Vamos usar propriedades de funções crescentes e integrais definidas. Precisaremos entender como as funções aumentam no intervalo e como isso afeta a integral da função nesse intervalo.
Vamos usar propriedades de funções crescentes e integrais definidas. Precisaremos entender como as funções aumentam no intervalo e como isso afeta a integral da função nesse intervalo.
Passo 2
Entendendo a Função Crescente:
Como é crescente em
, para todo
em
, temos:
Como
Isso significa que o menor valor que
atinge no intervalo é
e o maior valor é
.
Passo 3
Aplicando a Inequação na Integral:
Se para todo
em
, podemos integrar essas inequações:
Se
Passo 4
Calculando as Integrais Simples:
Como e
são constantes, as integrais ficam:
Como
Passo 5
Dividindo por
:
Para isolar a média da função, dividimos todos os termos por (supondo que
):
Para isolar a média da função, dividimos todos os termos por
Resposta
Portanto, mostramos que: