(1,0 ponto) Suponha f:[a, b] R positiva e crescente. Considere f(a)=m e f(b)=M. Mostre que m <= 1b-a integrala^b f(x) d x <= M

Passo 1

Resumo do Enunciado:
Temos uma função m <= 1b-a integrala^b f(x) , dx <= M que é positiva e crescente, ou seja, conforme aumenta de para , também aumenta. Sabemos que e . Precisamos mostrar que:
Conteúdo da Matéria:
Vamos usar propriedades de funções crescentes e integrais definidas. Precisaremos entender como as funções aumentam no intervalo e como isso afeta a integral da função nesse intervalo.

Passo 2

Entendendo a Função Crescente:
Como f(a) <= f(x) <= f(b) é crescente em , para todo em , temos:
Isso significa que o menor valor que atinge no intervalo é e o maior valor é .

Passo 3

Aplicando a Inequação na Integral:
Se integrala^b f(a) , dx <= integrala^b f(x) , dx <= integrala^b f(b) , dx para todo em , podemos integrar essas inequações:

Passo 4

Calculando as Integrais Simples:
Como m(b - a) <= integrala^b f(x) , dx <= M(b - a) e são constantes, as integrais ficam:

Passo 5

Dividindo por m <= 1b - a integrala^b f(x) , dx <= M :
Para isolar a média da função, dividimos todos os termos por (supondo que ):

Resposta

Portanto, mostramos que:
m <= 1b-a integrala^b f(x) , dx <= M

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