Identifique e esboce a cônica, conhecendo sua equação. Use o método de completamento de quadrados. 0,5 x^2+0,5 y^2-8 x+raiz3 y+9=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar e desenhar uma cônica a partir da equação dada, usando o método de completar o quadrado. Isso envolve um pouco de álgebra e geometria analítica. Vamos precisar organizar os termos da equação e transformar ela na forma padrão da cônica para identificar de qual tipo estamos falando.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação que temos:
0,5x^2 + 0,5y^2 -8x + raiz3 y +9 =0
Para facilitar os cálculos, podemos multiplicar todos os termos por 2 para eliminar os coeficientes fracionários:
x^2 + y^2 -16x + 2raiz3y +18 =0

Passo 3

Agora, vamos organizar os termos de (x^2 -16x) + (y^2 + 2raiz3y) +18 =0 e separadamente:
O próximo passo é completar o quadrado para cada uma dessas variáveis. Isso ajuda a transformar a equação na forma padrão da cônica.

Passo 4

Começando com os termos de x^2 -16x :
(-8)^2 = 64
Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de (x^2 -16x +64) -64 = (x -8)^2 -64 , que é , dividimos por 2, obtendo , e então elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 64 na expressão:

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo para os termos de y^2 + 2raiz3y :
(raiz3)^2 =3
Metade do coeficiente de (y^2 + 2raiz3y +3) -3 = (y + raiz3)^2 -3 é , e elevando ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos 3:

Passo 6

Substituindo essas expressões na equação original, temos:
(x -8)^2 -64 + (y + raiz3)^2 -3 +18 =0
Vamos agora somar os termos constantes:
-64 -3 +18 = -49
Então, a equação fica:
(x -8)^2 + (y + raiz3)^2 -49 =0

Passo 7

Isolando os termos quadráticos:
(x -8)^2 + (y + raiz3)^2 =49
Essa é a forma padrão da equação de um círculo, que é:
(x -h)^2 + (y -k)^2 =r^2
Onde é o centro e é o raio.

Resposta

A cônica é um círculo com centro em e raio igual a 7 unidades.

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