Identifique e esboce a cônica, conhecendo sua equação. Use o método de completamento de quadrados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar e desenhar uma cônica a partir da equação dada, usando o método de completar o quadrado. Isso envolve um pouco de álgebra e geometria analítica. Vamos precisar organizar os termos da equação e transformar ela na forma padrão da cônica para identificar de qual tipo estamos falando.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação que temos:
Para facilitar os cálculos, podemos multiplicar todos os termos por 2 para eliminar os coeficientes fracionários:
Passo 3
Agora, vamos organizar os termos de
e
separadamente:
O próximo passo é completar o quadrado para cada uma dessas variáveis. Isso ajuda a transformar a equação na forma padrão da cônica.
Passo 4
Começando com os termos de
:
Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de
, que é
, dividimos por 2, obtendo
, e então elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 64 na expressão:
Passo 5
Agora, vamos fazer o mesmo para os termos de
:
Metade do coeficiente de
é
, e elevando ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos 3:
Passo 6
Substituindo essas expressões na equação original, temos:
Vamos agora somar os termos constantes:
Então, a equação fica:
Passo 7
Isolando os termos quadráticos:
Essa é a forma padrão da equação de um círculo, que é:
Onde
é o centro e
é o raio.
Resposta
A cônica é um círculo com centro em
e raio igual a 7 unidades.