Seja f: X Y uma função. Prove que:
f é sobrejetiva se e somente se existe h: Y X tal que f circ h=IY (i. e., f é invertível à direita).

Passo 1

Então, a gente tem uma função e queremos provar que ela é sobrejetiva (ou seja, cobre todo o conjunto ) se, e somente se, existir uma outra função que, quando composta com ( ), dá a identidade em ( ). Vamos precisar entender o que significa uma função ser sobrejetiva e o que é uma inversa à direita.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função sobrejetiva. Uma função é sobrejetiva se, para cada elemento em , existe pelo menos um elemento em tal que . Ou seja, todo mundo em tem uma “pré-imagem” em .

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa ter uma função tal que . Isso quer dizer que, para cada em , . Basicamente, escolhe um elemento de que é mapeado para por .

Passo 4

Vamos provar a implicação direta: se é sobrejetiva, então existe com . Como é sobrejetiva, para cada em , existe pelo menos um em tal que . Podemos definir como um desses . Assim, , garantindo que .

Passo 5

Agora, a implicação inversa: se existe tal que , então é sobrejetiva. Para mostrar isso, pegue qualquer em . Como , existe pelo menos um em que satisfaz . Portanto, todo em tem uma pré-imagem em , o que mostra que é sobrejetiva.

Resposta

Portanto, é sobrejetiva se e somente se existe uma função tal que .

Exercícios relacionados