Seja
uma função. Prove que:
é sobrejetiva se e somente se existe
tal que
(i. e.,
é invertível à direita).
Passo 1
Então, a gente tem uma função
e queremos provar que ela é sobrejetiva (ou seja, cobre todo o conjunto
) se, e somente se, existir uma outra função
que, quando composta com
(
), dá a identidade em
(
). Vamos precisar entender o que significa uma função ser sobrejetiva e o que é uma inversa à direita.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função sobrejetiva. Uma função
é sobrejetiva se, para cada elemento
em
, existe pelo menos um elemento
em
tal que
. Ou seja, todo mundo em
tem uma “pré-imagem” em
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa ter uma função
tal que
. Isso quer dizer que, para cada
em
,
. Basicamente,
escolhe um elemento de
que é mapeado para
por
.
Passo 4
Vamos provar a implicação direta: se
é sobrejetiva, então existe
com
. Como
é sobrejetiva, para cada
em
, existe pelo menos um
em
tal que
. Podemos definir
como um desses
. Assim,
, garantindo que
.
Passo 5
Agora, a implicação inversa: se existe
tal que
, então
é sobrejetiva. Para mostrar isso, pegue qualquer
em
. Como
, existe pelo menos um
em
que satisfaz
. Portanto, todo
em
tem uma pré-imagem em
, o que mostra que
é sobrejetiva.
Resposta
Portanto,
é sobrejetiva se e somente se existe uma função
tal que
.