Identifique e esboce a cônica, conhecendo sua equação. Use o método de completamento de quadrados. 0,5 x^2+0,5 y^2+5 x-5 y+19=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para identificar e desenhar a cônica a partir da equação que foi dada:
0,5 x^2 + 0,5 y^2 + 5 x - 5 y + 19 = 0
Aqui, estamos lidando com uma cônica, que pode ser um círculo, elipse, parábola ou hipérbole. Para identificar qual é, vamos usar o método de completamento de quadrados, que nos ajuda a reescrever a equação de forma mais clara.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os termos da equação agrupando os termos com 0,5 x^2 + 5 x + 0,5 y^2 - 5 y + 19 = 0 e os termos com :

Passo 3

Agora, vamos fatorar os coeficientes que estão na frente de 0,5(x^2 + 10x) + 0,5(y^2 - 10y) + 19 = 0 e :

Passo 4

Em seguida, vamos completar os quadrados para as expressões dentro dos parênteses. Para completar o quadrado de x^2 + 10x = (x + 5)^2 - 25, usamos a fórmula y^2 - 10y = (y - 5)^2 - 25. Aqui, , então . Fazemos o mesmo para , onde :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Substituímos essas expressões de volta na equação:
0,5[(x + 5)^2 - 25] + 0,5[(y - 5)^2 - 25] + 19 = 0

Passo 6

Distribuímos o 0,5 nos parênteses:
0,5(x + 5)^2 - 12,5 + 0,5(y - 5)^2 - 12,5 + 19 = 0

Passo 7

Agora, somamos os constantes:
0,5(x + 5)^2 + 0,5(y - 5)^2 - 25 + 19 = 0
0,5(x + 5)^2 + 0,5(y - 5)^2 - 6 = 0

Passo 8

Isolamos os termos quadráticos:
0,5(x + 5)^2 + 0,5(y - 5)^2 = 6

Passo 9

Dividimos toda a equação por 0,5 para simplificar:
(x + 5)^2 + (y - 5)^2 = 12

Passo 10

Agora, a equação está na forma padrão de um círculo, que é , onde é o centro e é o raio.
Comparando:
  • Centro:
  • Raio:

Resposta

A equação representa um círculo com centro em e raio . O esboço seria um círculo centrado no ponto com o raio mencionado.

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