Sejam e 0=[l0 0 0]. Encontre a solução geral do sistema de equações lineares (A+4 I) X=0.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares . Aqui estamos trabalhando com matrizes e sistemas lineares, que são partes fundamentais da Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar somar a matriz com (onde é a matriz identidade), e depois encontrar os valores de , e que satisfazem a equação resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a matriz 4I = 4 & 0 & 0 0 & 4 & 0 0 & 0 & 4 . Somar duas matrizes significa somar seus elementos correspondentes. A matriz identidade A + 4I = 1 & 0 & 5 1 & 1 & 1 0 & 1 & -4 + 4 & 0 & 0 0 & 4 & 0 0 & 0 & 4 = 5 & 0 & 5 1 & 5 & 1 0 & 1 & 0 é uma matriz quadrada com 1’s na diagonal principal e 0’s em todas as outras posições. Multiplicando por 4, temos:
Agora, somamos com :
Passo 3
Agora que temos a matriz 5 & 0 & 5 1 & 5 & 1 0 & 1 & 0 x y z = 0 0 0 , vamos montar o sistema de equações lineares 5x + 0y + 5z = 0 1x + 5y + 1z = 0 0x + 1y + 0z = 0 . Isso resulta em:
O que nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos simplificar o sistema. Observe a terceira equação:
y = 0
Isso já nos dá o valor de . Agora, substituímos nas outras duas equações:
Simplificando:
Na verdade, ambas as equações nos dão a mesma informação: .
Passo 5
Como x = -t y = 0 z = t e -1 0 1 , podemos expressar as soluções em termos de um parâmetro livre. Vamos chamar , onde é qualquer número real. Então:
Isso significa que a solução geral do sistema é um múltiplo do vetor .
Resposta
A solução geral do sistema é todo vetor da forma -t 0 t , onde é um número real qualquer.