Identifique e esboce a cônica, conhecendo sua equação. Use o método de completamento de quadrados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para identificar e desenhar uma cônica a partir da equação dada usando o método de completamento de quadrados. A matéria envolvida aqui é a Geometria Analítica, especificamente o estudo das cônicas como elipses, hipérboles e parábolas. Para resolver, vamos precisar completar os quadrados na equação e identificar os coeficientes que definem o tipo de cônica.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação dada:
Observamos que há um termo
, o que indica que a cônica pode estar rotacionada. Para simplificar, podemos tentar eliminar esse termo usando uma rotação de eixos.
Passo 3
Vamos encontrar o ângulo de rotação
que elimina o termo
. A fórmula para
é:
Onde:
-
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(coeficiente de )
Substituindo:
Isso nos dá:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a rotação de
para eliminar o termo
. As novas coordenadas
são dadas por:
Com
, temos
e
. Substituindo na equação original:
Passo 5
Expandindo e simplificando os termos, o termo
deve cancelar-se devido à escolha de
. Após a simplificação, a equação se torna:
Onde
e
são novos coeficientes que determinam o tipo da cônica. Calculando:
E ajustando o termo constante:
Passo 6
Dividindo ambos os lados por 16 para colocar a equação na forma padrão:
Essa é a equação de uma elipse, onde os denominadores representam os quadrados dos semi-eixos.
Resposta
A cônica é uma elipse com semi-eixos de comprimentos
e
, rotacionada
em relação ao eixo original. O esboço seria uma elipse inclinada no plano coordenado conforme esses parâmetros.