Identifique e esboce a cônica, conhecendo sua equação. Use o método de completamento de quadrados. x^2+4 y^2+3 raiz3 x y-4=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para identificar e desenhar uma cônica a partir da equação dada usando o método de completamento de quadrados. A matéria envolvida aqui é a Geometria Analítica, especificamente o estudo das cônicas como elipses, hipérboles e parábolas. Para resolver, vamos precisar completar os quadrados na equação e identificar os coeficientes que definem o tipo de cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação dada:
x^2 + 4 y^2 + 3 raiz3 x y - 4 = 0
Observamos que há um termo , o que indica que a cônica pode estar rotacionada. Para simplificar, podemos tentar eliminar esse termo usando uma rotação de eixos.

Passo 3

Vamos encontrar o ângulo de rotação tan(2theta) = BA - C que elimina o termo tan(2theta) = 3raiz31 - 4 = 3raiz3-3 = -raiz3 . A fórmula para 2theta = 120^circ implies theta = 60^circ é:
Onde:
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de )
Substituindo:
Isso nos dá:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a rotação de x = x' costheta - y' sintheta y = x' sintheta + y' costheta para eliminar o termo ( 12x' - raiz32y' )^2 + 4 ( raiz32x' + 12y' )^2 + 3raiz3 ( 12x' - raiz32y' )( raiz32x' + 12y' ) - 4 = 0 . As novas coordenadas são dadas por:
Com , temos e . Substituindo na equação original:

Passo 5

Expandindo e simplificando os termos, o termo A'x'^2 + C'y'^2 + D = 0 deve cancelar-se devido à escolha de A' = 14 + 3 = 134, C' = 34 + 1 = 74 . Após a simplificação, a equação se torna:
134x'^2 + 74y'^2 - 4 = 0 implies 13x'^2 + 7y'^2 = 16
Onde e são novos coeficientes que determinam o tipo da cônica. Calculando:
E ajustando o termo constante:

Passo 6

Dividindo ambos os lados por 16 para colocar a equação na forma padrão:
x'^21613 + y'^2167 = 1
Essa é a equação de uma elipse, onde os denominadores representam os quadrados dos semi-eixos.

Resposta

A cônica é uma elipse com semi-eixos de comprimentos e , rotacionada em relação ao eixo original. O esboço seria uma elipse inclinada no plano coordenado conforme esses parâmetros.

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