Seja
uma função. Prove que:
Se
injetiva então
sobrejetiva
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala de uma função
que vai de um conjunto com elementos
para ele mesmo. A gente precisa provar que se essa função for injetiva (ou seja, cada entrada tem uma saída única), então ela também é sobrejetiva (ou seja, todo elemento do conjunto de chegada é atingido por algum elemento do conjunto de partida). Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria de conjuntos e propriedades de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser injetiva. Dizemos que
é injetiva se, para quaisquer
e
no domínio, se
, então
. Basicamente, elementos diferentes do domínio não mapeiam para o mesmo elemento no contradomínio.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é uma função sobrejetiva. A função
é sobrejetiva se, para todo elemento
no contradomínio, existe pelo menos um
no domínio tal que
. Ou seja, todo elemento do conjunto de chegada é a imagem de algum elemento do conjunto de partida.
Passo 4
Como o domínio e o contradomínio de
têm o mesmo número de elementos (
), se a função
for injetiva, cada elemento do domínio mapeia para um elemento único do contradomínio, sem repetições. Como temos exatamente
elementos em cada conjunto, não sobra nenhum elemento no contradomínio que não seja mapeado. Portanto,
também é sobrejetiva.
Resposta
Então, provamos que se
é injetiva, ela também é sobrejetiva quando o domínio e o contradomínio têm o mesmo número de elementos.