Identifique a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo, cujo domínio é R :
® f(x) = |x - 1| - |x - 4|;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar a imagem e esboçar o gráfico da função com domínio em . Isso significa que vamos descobrir todos os valores que pode assumir (imagem) e desenhar como essa função se comporta no gráfico. Para isso, vamos precisar entender como funcionam as funções valor absoluto e como combiná-las.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função valor absoluto retorna sempre um número não negativo, ou seja, . Além disso, para resolver expressões com valores absolutos, é útil identificar os pontos onde o interior do valor absoluto muda de sinal. No nosso caso, temos e , então precisamos encontrar os pontos onde e , que são e , respectivamente.

Passo 3

Vamos dividir a reta real em intervalos baseados nesses pontos críticos: , e . Em cada intervalo, o sinal dentro de cada valor absoluto é constante, o que facilita a simplificação da função.

Passo 4

Vamos simplificar em cada intervalo:
  1. Para :
    • Então,
  2. Para :
    • Então,
  3. Para :
    • Então,

Passo 5

Agora que simplificamos em cada intervalo, podemos identificar a imagem da função:
  • Para ,
  • Para , , que varia de até
  • Para ,
Então, a imagem de é o conjunto de todos os valores de que vão de a , ou seja, .

Passo 6

Por fim, vamos esboçar o gráfico:
  • Para , a função é constante em .
  • Para , a função é uma reta crescente com inclinação , passando por em até em .
  • Para , a função é constante em .

Resposta

A imagem da função é o intervalo e o gráfico consiste em uma reta horizontal em para , uma reta crescente de a entre e , e outra reta horizontal em para .

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