Identifique a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo, cujo domínio é
:
®
;
®
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar a imagem e esboçar o gráfico da função
com domínio em
. Isso significa que vamos descobrir todos os valores que
pode assumir (imagem) e desenhar como essa função se comporta no gráfico. Para isso, vamos precisar entender como funcionam as funções valor absoluto e como combiná-las.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função valor absoluto
retorna sempre um número não negativo, ou seja,
. Além disso, para resolver expressões com valores absolutos, é útil identificar os pontos onde o interior do valor absoluto muda de sinal. No nosso caso, temos
e
, então precisamos encontrar os pontos onde
e
, que são
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos dividir a reta real em intervalos baseados nesses pontos críticos:
,
e
. Em cada intervalo, o sinal dentro de cada valor absoluto é constante, o que facilita a simplificação da função.
Passo 4
Vamos simplificar
em cada intervalo:
-
Para
: -
-
- Então,
-
-
Para
: -
-
- Então,
-
-
Para
: -
-
- Então,
-
Passo 5
Agora que simplificamos
em cada intervalo, podemos identificar a imagem da função:
- Para
, - Para
, , que varia de até - Para
,
Então, a imagem de
é o conjunto de todos os valores de
que vão de
a
, ou seja,
.
Passo 6
Por fim, vamos esboçar o gráfico:
- Para
, a função é constante em . - Para
, a função é uma reta crescente com inclinação , passando por em até em . - Para
, a função é constante em .
Resposta
A imagem da função
é o intervalo
e o gráfico consiste em uma reta horizontal em
para
, uma reta crescente de
a
entre
e
, e outra reta horizontal em
para
.