Identifique a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo, cujo domínio é :
(j)

Passo 1

Então, a gente tem que identificar a imagem e desenhar o gráfico da função definida por partes. A função é definida para todo número real ( ) e tem duas expressões diferentes dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função por partes e como cada parte influencia o gráfico geral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a imagem de uma função. A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir quando varia em todo o domínio. Aqui, o domínio é , ou seja, todos os números reais.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada parte da função:
  1. Para :
    A função é . Essa é uma reta com coeficiente angular e intercepto em . Como pode ir até menos infinito, também pode ir até mais infinito positivo.
  2. Para :
    A função é . Essa é outra reta, agora com coeficiente angular e intercepto em . Aqui, pode ir até mais infinito, então também vai ao infinito positivo.

Passo 4

Vamos determinar os valores de nos pontos de transição, ou seja, quando :
  • Para na primeira parte:
  • Para na segunda parte: Não precisa calcular, pois a segunda parte é para
Então, no ponto , a função assume o valor .

Passo 5

Para encontrar a imagem, vamos ver quais valores pode assumir:
  • Na primeira parte ( ), conforme vai para menos infinito, vai para mais infinito.
  • Na segunda parte ( ), conforme vai para mais infinito, também vai para mais infinito.
Portanto, a imagem é todos os números reais maiores ou iguais a , já que a função continua aumentando a partir desse ponto.

Passo 6

Finalmente, para esboçar o gráfico:
  • Desenhe a reta para . Quando , .
  • Desenhe a reta para . Clique o ponto em , continua a partir de e segue aumentando.

Resposta

A imagem da função é . O gráfico consiste em duas retas: para , uma reta decrescente que passa pelo ponto , e para , uma reta crescente que começa em e se estende para .

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Identifique a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo, cujo domínio é :
© ;
Identifique a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo, cujo domínio é :
(b) ;
Identifique a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo, cujo domínio é :
® ;
Determine o domínio maximal das funções abaixo:
(b) ;