Identifique a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo, cujo domínio é :
(s) ;
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos identificar a imagem dessa função e esboçar o gráfico dela, considerando que o domínio é (todos os números reais). Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções módulo e propriedades básicas de funções matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função . Observamos que e são a mesma coisa, já que o valor absoluto ignora o sinal. Portanto, podemos reescrever a função assim:
Passo 3
Agora, como temos dois termos iguais somados, podemos simplificar ainda mais:
Passo 4
Entendendo a função simplificada , sabemos que representa a distância de até 1 na linha dos números reais. Multiplicando por 2, estamos apenas escalando essa distância.
Passo 5
Vamos identificar a imagem da função. A função valor absoluto sempre é maior ou igual a 0. Portanto, também será maior ou igual a 0. Assim, a imagem da função é:
Passo 6
Para esboçar o gráfico, sabemos que é uma “V” invertida porque a inclinação é positiva dos dois lados do ponto de mínimo. O ponto de mínimo ocorre quando , ou seja, . Nesse ponto:
Passo 7
Então, o gráfico será uma linha com inclinação positiva para e uma linha com inclinação negativa para , todas se encontrando no ponto (1, 0).
Resposta
A imagem da função é . O gráfico dela é uma linha em forma de “V” com o vértice no ponto (1, 0), abrindo para cima.