Identifique a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo, cujo domínio é :
(s) ;

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos identificar a imagem dessa função e esboçar o gráfico dela, considerando que o domínio é (todos os números reais). Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções módulo e propriedades básicas de funções matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Observamos que e são a mesma coisa, já que o valor absoluto ignora o sinal. Portanto, podemos reescrever a função assim:

Passo 3

Agora, como temos dois termos iguais somados, podemos simplificar ainda mais:

Passo 4

Entendendo a função simplificada , sabemos que representa a distância de até 1 na linha dos números reais. Multiplicando por 2, estamos apenas escalando essa distância.

Passo 5

Vamos identificar a imagem da função. A função valor absoluto sempre é maior ou igual a 0. Portanto, também será maior ou igual a 0. Assim, a imagem da função é:

Passo 6

Para esboçar o gráfico, sabemos que é uma “V” invertida porque a inclinação é positiva dos dois lados do ponto de mínimo. O ponto de mínimo ocorre quando , ou seja, . Nesse ponto:

Passo 7

Então, o gráfico será uma linha com inclinação positiva para e uma linha com inclinação negativa para , todas se encontrando no ponto (1, 0).

Resposta

A imagem da função é . O gráfico dela é uma linha em forma de “V” com o vértice no ponto (1, 0), abrindo para cima.

Exercícios relacionados

Identifique a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo, cujo domínio é :
(k)
Identifique a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo, cujo domínio é :
(h) ;
Mostre que se , com então se se e .
Determine o domínio maximal das funções abaixo:
(a) ;