Identifique a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo, cujo domínio é :
(k) ;
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para identificar a imagem e esboçar o gráfico da função dada, que é uma função por partes definida para todo número real. Vamos precisar entender como funcionam funções por partes e como determinar a imagem delas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da função:
Isso significa que a função se comporta de três maneiras diferentes dependendo do valor de .
Passo 3
Vamos determinar a imagem de cada parte:
Para , :
Aqui, pode ser qualquer número menor ou igual a 1.
Portanto, também pode ser qualquer número menor ou igual a 1.
Imagem:
Para , :
Vamos calcular os valores extremos dessa expressão.
Quando se aproxima de 1 pela direita ():
- Quando se aproxima de 2 pela esquerda ():
Portanto, varia de 1 até 3.
Imagem:
Para , :
Aqui, independente do valor de ser maior ou igual a 2, sempre será 3.
Imagem:
Passo 4
Agora, vamos combinar as imagens de todas as partes para encontrar a imagem total da função.
A primeira parte cobre todos os valores de até 1.
A segunda parte vai de 1 a 3.
A terceira parte é o valor 3.
Portanto, a imagem total da função é todos os valores reais menores ou iguais a 3.
Em termos de intervalo:
Resposta
A imagem da função é o conjunto de todos os números reais menores ou iguais a 3, ou seja, 𝕞. O gráfico da função é uma linha reta crescente para , seguida por uma outra linha reta com inclinação maior até , e depois uma linha horizontal no valor 3 para .