Identifique a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo, cujo domínio é :
(k)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para identificar a imagem e esboçar o gráfico da função dada, que é uma função por partes definida para todo número real. Vamos precisar entender como funcionam funções por partes e como determinar a imagem delas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da função:
Isso significa que a função se comporta de três maneiras diferentes dependendo do valor de .

Passo 3

Vamos determinar a imagem de cada parte:
  1. Para , :
    • Aqui, pode ser qualquer número menor ou igual a 1.
    • Portanto, também pode ser qualquer número menor ou igual a 1.
    • Imagem:
  2. Para , :
    • Vamos calcular os valores extremos dessa expressão.
    • Quando se aproxima de 1 pela direita ( ):
      - Quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ):
    • Portanto, varia de 1 até 3.
    • Imagem:
  3. Para , :
    • Aqui, independente do valor de ser maior ou igual a 2, sempre será 3.
    • Imagem:

Passo 4

Agora, vamos combinar as imagens de todas as partes para encontrar a imagem total da função.
  • A primeira parte cobre todos os valores de até 1.
  • A segunda parte vai de 1 a 3.
  • A terceira parte é o valor 3.
Portanto, a imagem total da função é todos os valores reais menores ou iguais a 3.
Em termos de intervalo:

Resposta

A imagem da função é o conjunto de todos os números reais menores ou iguais a 3, ou seja, 𝕞. O gráfico da função é uma linha reta crescente para , seguida por uma outra linha reta com inclinação maior até , e depois uma linha horizontal no valor 3 para .

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(h) ;
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(f) ;
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(s) ;
Mostre que se , com então se se e .