Mostre que se
, com
então
se
se
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que, para a função linear
com
, temos três situações diferentes dependendo do valor de
. Isso envolve conceitos de funções lineares e desigualdades. Vamos precisar usar propriedades básicas de álgebra para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar quando a função
é igual a zero. Para isso, colocamos
:
Passo 3
Agora, resolvemos essa equação para
:
Então,
. Essa é a raiz da função, ou seja, o ponto onde a função cruza o eixo
.
Passo 4
Agora, vamos analisar quando
. Sabemos que
, então a inclinação da reta é positiva. Para
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por
(como
, a desigualdade mantém o sentido):
Então, quando
é maior que
,
é maior que zero.
Passo 5
Por fim, vamos ver quando
. Partindo da mesma função:
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo por
(lembre que
, então a desigualdade continua):
Assim, quando
é menor que
,
é menor que zero.
Resposta
Mostramos que para
com
:
-
se , -
se , - e
.