Mostre que se f(x) = a*x + b, com a > 0 então f(x) > 0 se x > -b/a, f(x) < 0 se x < -b/a e f(-b/a) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que, para a função linear com , temos três situações diferentes dependendo do valor de . Isso envolve conceitos de funções lineares e desigualdades. Vamos precisar usar propriedades básicas de álgebra para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar quando a função é igual a zero. Para isso, colocamos :

Passo 3

Agora, resolvemos essa equação para :
Então, . Essa é a raiz da função, ou seja, o ponto onde a função cruza o eixo .

Passo 4

Agora, vamos analisar quando . Sabemos que , então a inclinação da reta é positiva. Para :
Subtraindo de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por (como , a desigualdade mantém o sentido):
Então, quando é maior que , é maior que zero.

Passo 5

Por fim, vamos ver quando . Partindo da mesma função:
Subtraindo de ambos os lados:
Dividindo por (lembre que , então a desigualdade continua):
Assim, quando é menor que , é menor que zero.

Resposta

Mostramos que para com :
  • se ,
  • se ,
  • e .

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