Identifique a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo, cujo domínio é :
(h) ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar a imagem e esboçar o gráfico da função definida por partes com domínio em todos os números reais (). A matéria envolvida aqui é funções definidas por partes e análise de domínio e imagem. Para resolver, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e depois juntar tudo no gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a definição da função . Ela é definida de duas maneiras dependendo do valor de :
Se , então .
Se , então .
Isso significa que para valores de menores ou iguais a 1, a função é constante e igual a 1. Para valores de maiores que 1, a função é uma reta com inclinação 2 e interceptação em -1.
Passo 3
Vamos identificar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores de .
Para , . Então, o valor 1 está na imagem.
Para , . Como pode ser qualquer número maior que 1, também pode ser qualquer número maior que . Então, a imagem para essa parte é .
Juntando as duas partes, a imagem da função é .
Passo 4
Agora, vamos esboçar o gráfico da função.
Para , plotamos uma linha horizontal no nível .
Em , a função muda de comportamento. Vamos verificar a continuidade:
Limite à esquerda em : .
Limite à direita em : .
Já que os limites são iguais e o valor da função também é 1 em , a função é contínua nesse ponto.
Para , desenhamos a reta , que passa por e sobe com inclinação 2.
Passo 5
Juntando tudo, o gráfico fica assim:
Uma linha horizontal em para .
Uma reta crescente a partir de com equação .
Isso visualmente mostra que a função mantém o valor 1 até e depois começa a aumentar linearmente.
Resposta
A imagem da função é . O gráfico de consiste em uma linha horizontal em para e uma reta crescente para , com continuidade no ponto .