Identifique a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo, cujo domínio é
:
(h)
;
(h)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar a imagem e esboçar o gráfico da função definida por partes
com domínio em todos os números reais (
). A matéria envolvida aqui é funções definidas por partes e análise de domínio e imagem. Para resolver, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e depois juntar tudo no gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a definição da função
. Ela é definida de duas maneiras dependendo do valor de
:
- Se
, então . - Se
, então .
Isso significa que para valores de
menores ou iguais a 1, a função é constante e igual a 1. Para valores de
maiores que 1, a função é uma reta com inclinação 2 e interceptação em -1.
Passo 3
Vamos identificar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores de
.
- Para
, . Então, o valor 1 está na imagem. - Para
, . Como pode ser qualquer número maior que 1, também pode ser qualquer número maior que . Então, a imagem para essa parte é .
Juntando as duas partes, a imagem da função
é
.
Passo 4
Agora, vamos esboçar o gráfico da função.
- Para
, plotamos uma linha horizontal no nível . - Em
, a função muda de comportamento. Vamos verificar a continuidade: - Limite à esquerda em
: . - Limite à direita em
: . - Já que os limites são iguais e o valor da função também é 1 em
, a função é contínua nesse ponto.
- Limite à esquerda em
- Para
, desenhamos a reta , que passa por e sobe com inclinação 2.
Passo 5
Juntando tudo, o gráfico fica assim:
- Uma linha horizontal em
para . - Uma reta crescente a partir de
com equação .
Isso visualmente mostra que a função mantém o valor 1 até
e depois começa a aumentar linearmente.
Resposta
A imagem da função
é
. O gráfico de
consiste em uma linha horizontal em
para
e uma reta crescente
para
, com continuidade no ponto
.