Identifique a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo, cujo domínio é :
(h) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar a imagem e esboçar o gráfico da função definida por partes com domínio em todos os números reais ( ). A matéria envolvida aqui é funções definidas por partes e análise de domínio e imagem. Para resolver, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e depois juntar tudo no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a definição da função . Ela é definida de duas maneiras dependendo do valor de :
  • Se , então .
  • Se , então .
Isso significa que para valores de menores ou iguais a 1, a função é constante e igual a 1. Para valores de maiores que 1, a função é uma reta com inclinação 2 e interceptação em -1.

Passo 3

Vamos identificar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores de .
  • Para , . Então, o valor 1 está na imagem.
  • Para , . Como pode ser qualquer número maior que 1, também pode ser qualquer número maior que . Então, a imagem para essa parte é .
Juntando as duas partes, a imagem da função é .

Passo 4

Agora, vamos esboçar o gráfico da função.
  • Para , plotamos uma linha horizontal no nível .
  • Em , a função muda de comportamento. Vamos verificar a continuidade:
    • Limite à esquerda em : .
    • Limite à direita em : .
    • Já que os limites são iguais e o valor da função também é 1 em , a função é contínua nesse ponto.
  • Para , desenhamos a reta , que passa por e sobe com inclinação 2.

Passo 5

Juntando tudo, o gráfico fica assim:
  • Uma linha horizontal em para .
  • Uma reta crescente a partir de com equação .
Isso visualmente mostra que a função mantém o valor 1 até e depois começa a aumentar linearmente.

Resposta

A imagem da função é . O gráfico de consiste em uma linha horizontal em para e uma reta crescente para , com continuidade no ponto .

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Identifique a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo, cujo domínio é :
(f) ;
Esboce o gráfico das funções abaixo:
(g) ;
Identifique a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo, cujo domínio é :
(k)
Identifique a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo, cujo domínio é :
(s) ;